Сфера описана около пирамида

[Sis0k0]

Трябва да реша три подобни задачи за сфера описана около четириъгълна пирамида. Моля ви за помощ по някоя от тях, защото мисля, че едно и също нещо ми убягва и при трите решения.

1. Ръбовете AD, BD и CD на триъгълната пирамида ABCD са равни и са два по два перпендикулярни. Какъв е обемът на пирамидата, ако радиуса на описаната около нея сфера е R ?

2. Дадена е четириъгълна пирамида ABCDE с основа квадрата ABCD и околни ръбове BE = [tex]\sqrt{2}[/tex] и AE = 1. Основният ръб AE е перпендикулярен на равнината на основата. Да се докаже, че около пирамидата може да се опише сфера и да се намери радиуса на тази сфера.

3. ABCDM е пирамида с основа квадрата ABCD, за който AC=BD=1. Стената BCM е перпендикулярна на основата и е равнобедрен триъгълник, като BM=CM=2. Да се докаже, че около пирамидата може да се опише сфера и да се намери радиуса на тази сфера.

Благодаря ви предварително!

[Knowledge Greedy]

1. Ръбовете [tex]AD, BD[/tex] и [tex]CD[/tex] на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] са равни и са два по два перпендикулярни. Какъв е обемът на пирамидата, ако радиусът на описаната около нея сфера е [tex]R[/tex] ?

Нека всеки от ръбовете през върха [tex]D[/tex] има дължина [tex]a[/tex].
Тъй като всяка от околните стени [tex]\Delta ABD, \Delta BCD, CAD[/tex] е правоъгълен равнобедрен триъгълник с хипотенуза [tex]\frac{a\sqrt{2} }{2}[/tex], то основата е равностранен триъгълник със страна [tex]\frac{a\sqrt{2} }{2}[/tex].
Центърът на описаната сфера лежи върху правата през центъра на описаната окръжност около основата - [tex]\Delta ABC,[/tex] перпендикулярна на основата. И тъй като основата е равностранен триъгълник, то тази права ще съдържа и височината на пирамидата през върха [tex]D[/tex].

След това въведение, да преминем към пресмятания.
Ако вземем една от околните стени за основа, обемът бързо става [tex]V=\frac{1}{6}a^3[/tex].
Ако пресмятаме с основа, стената на равностранния триъгълник, получаваме [tex]V=\frac{1}{3}.\frac{(a\sqrt{2}) ^2\sqrt{3} }{4 }H[/tex].
От двете представяния изразяваме височината [tex]H[/tex], която включваме в триъгълник, съдържащ дадения радиус [tex]R[/tex], околен ръб [tex]AD[/tex], както и петата [tex]M[/tex]на височината.

За сферата и обема.PNG (2.18 KiB) Прегледано 1176 пъти

Като изразим от правоъгълните триъгълници [tex]cos\delta =\frac{H}{a } =\frac{a}{2R }[/tex]

От трите равенства изключваме височината и получаваме [tex]a=\frac{2R\sqrt{3} }{3 }[/tex], след това намираме обема.