правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха C и център на вписаната окръжност O. Намерете AB и S, ако AO=√5 и BO=√

[Гост]

BO=√10

[MENKA]

Т. О е пресечна точка на ъгл.Така че АО и ВО са ъгл. Ъгъл С=90 градуса и затова А+B=90 градуса.Следователно в т-к АВО ъгъл ВАО+ъгъл АВО=45 градуса и тка ъгъл АОВ=180-45=135 градуса
Прилагате косинусовата теорема за АВ в т-к АОВ,като co 135=coсинус(90+35)
Така намирате АВ.
т-к АМО и т-к ВМО-където ОМ-радиус на вписаната окръжност
АМ+BM=AB
От правоъг. т-к АМО по Питагоровата теорема
АМ²+r²=AO²

От прав. т-к ВМО

BO²=r²+(AB-AM)²

О т тези две равенствап изразиавате r² и ги приравниавате и така намирате AM и ВМ
След това намирате r.
т. Р принадлежи на АС, а т. К на ВС така ,че ОР=OK=OM=r

Тогава AM=AP и BM=BK и СР=CK

CO e ъгл. на правиа ъгъл АСВ и така ъгъл PCO=POC =45 градуса
Така правоъг т-к POC e правоъг. и равноб-OP=PC=r

AC=AP+PC
BC=BK+CK
Намирате вече лицето.

[amsara]

По ОЗ [tex]\angle AOB=135^\circ[/tex]
[tex]=>AB^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{10})^2-2.\sqrt{5}.\sqrt{10}cos135[/tex]
[tex]AB^2=25 <=> AB=5cm[/tex]
[tex]OM=ON=OP=r(OM \bot AB, ON \bot BC, OP \bot AC)[/tex]
[tex]AM=a, MB=b[/tex]
[tex]a^2+r^2=5[/tex]
[tex]b^2+r^2=10[/tex]
Изваждаме почленно и получаваме:
[tex](b-a)(b+a)=5[/tex]
Но вече получихме, че [tex]AB=b+a=5 => b-a=1[/tex]
[tex]b+a=5[/tex]
[tex]b-a=1[/tex]
[tex]=>b=3cm, a=2cm[/tex]
[tex]a^2+r^2=5 <=> r^2=5-4 <=> r=1cm[/tex]
[tex]PONC[/tex] е квадрат.[tex]=>PC=NC=1cm[/tex]
От допирателни [tex]AP=AM=2cm, BN=BM=3cm[/tex]
[tex]=>AC=2+1=3cm, BC=3+1=4cm => S=\frac{3.4}{ 2} =6 cm^2[/tex]

[monika_at]

По-кратък вариант. Намираме лицето на [tex]\Delta AOB: S=\frac{AO.BO.sin135^\circ }{2 }[/tex] и после ползваме друга формула за лице. [tex]S=\frac{AB.r}{ 2}[/tex]