Модулни уравнения

[Гост]

Решете уравненията:
а) [tex]x^2-3|x+2|-4=0[/tex]
б) [tex]|x^2-3|x|+1|=1[/tex]

[MENKA]

За а имате два случаи
X+2≥0 и тогава уравнението добива вида х²-3(x+2)-4=0
и х+2<0 и х²-3(-x-2)=0

За б/ първо започвате с вътрешниа модул
1.х≥0 и след това външниа модул -веднъж ≥0 или <0
2x<0 и след това външниа модул-веднъж ≥д или <0

[Knowledge Greedy]

[tex]x^2-3|x+2|-4=0[/tex]

Отделяме модула от едната страна на равенството
[tex]x^2-4=3|x+2|[/tex]

Повдигаме на втора степен, като отбелязваме, че трябва и [tex]x^2-4\ge 0[/tex] [tex](\ast)[/tex]
[tex](x^2-4)^2=9|x+2|^2[/tex]

От втората степен модулните скоби "омекват"
[tex](x^2-4)^2=9(x+2)^2[/tex]

Но не бързаме да ги разкрием, а прехвърляме отляво
[tex](x^2-4)^2-9(x+2)^2=0[/tex]

и разлагаме на множители
[tex](x^2-4-3(x+2))((x^2-4+3(x+2)=0[/tex]

В резултат, получените две квадратни уравнения
[tex]\left\{\begin{matrix}
x^2-3x-10=0\\
x^2+3x+2=0
\end{matrix}\right.[/tex],
дават корени [tex]5, (-2)[/tex] и [tex](-1)[/tex],
но поради факта [tex](\ast)[/tex] остават само [tex]x_1=5[/tex] и [tex]x_2=-2[/tex]

[Гост]

1. Броят на целите числа решения на неравенството [tex]|x^2-14|\le 10[/tex] са?

2. Решете неравенството:

[tex]\frac{x^2+5x-6}{|x+4| }\le 0[/tex]

[MENKA]

При решаване на модулно уравнение има една максима-има 2 случаиа за израза в модул-веднъж ≥0 или <0.

[Гост]

[tex]x^2-4=3|x+2|[/tex]
[tex](x-2)(x+2)=3|x+2|[/tex]
Вижда се,че[tex]x=-2[/tex] e решение!
Ако[tex]x<-2[/tex], получаваме[tex]x-2=-3[/tex], или[tex]x=-1[/tex], което е невъзможно ([tex]x<-2[/tex]).
При[tex]x>-2[/tex], получаваме [tex]x-2=3[/tex], или [tex]x=5[/tex].

Отговор: [tex]x=-2[/tex] или [tex]x=5[/tex]

[tex]|x^2-3|x|+1|=1[/tex]
Вижда се, че ако x e решение то и -x също е решение.
Разбираме, че вътрешният модул е това, което англичаните наричат "red herring" http://en.wikipedia.org/wiki/Red_herring.
На такива кукички кьлват "Менките", което е нормално за човек, който не може да намери буквата "Я" на клавиатурата си и могат само да спазват някакви "максими".

Oтговор:[tex]x=0,x=\pm 1,x=pm 2,x=\pm 3[/tex]

Значи ще търсим само неотрицателни решения или ще решаваме [tex]|x^2-3x+1|=1.[/tex]
Повдигаме на квадрат (това Keen to know го е показал) и получаваме:
[tex](x^2-3x)(x^2-3x+2)=0[/tex] с корени [tex]x=0,x=3,x=1,x=2[/tex]

[Гост]

P.S. Извинявам се! Вместо Knowledge Greedy съм написал ника на един мой добър приятел (уви покойник) Максим Лорер (keen to know).

[monika_at]

P.S. Извинявам се! Вместо Knowledge Greedy съм написал ника на един мой добър приятел (уви покойник) Максим Лорер (keen to know).