правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник с катет 6см и хипотенуза 10 см . Намерете разстоянието между центъра на вписаната окръжност и медицентъра на триъгълника

[Knowledge Greedy]

Радиусът на описаната окръжност е [tex]R=5.[/tex]
Другият катет е [tex]8.[/tex] Полупериметърът е [tex]p=12[/tex], а радиусът на вписаната окръжност [tex]r=2[/tex].

Ще решим триъгълника [tex]\Delta MIC[/tex].
[tex]CI=2\sqrt{2}[/tex]
[tex]CM=\frac{10}{ 3}[/tex]

Питагоровият триъгълник 345.PNG (3.46 KiB) Прегледано 185 пъти

[tex]cos\angle ACM=\frac{4}{5 }[/tex]
[tex]cos\varphi =cos(45^\circ -\angle ACM)=\frac{\sqrt{2} }{2}.\frac{4}{5} +\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{3}{5}[/tex]

[tex]cos\varphi =\frac{7\sqrt{2} }{10}[/tex]

Остава с косинусова теорема да получим
[tex]MI^2=CM^2+CI^2-2CM.CI.cos\varphi[/tex]

[tex]MI=\frac{2}{ 3}[/tex]
-------------------

Втори начин
Ако в началото със свойството на ъглополовящата [tex]BL[/tex] в [tex]\Delta ABC[/tex] получим [tex]CL:AL=6:10\Rightarrow CL=3[/tex]

Погледът на ъглополовящата 345.PNG (3.38 KiB) Прегледано 185 пъти

и продължим със свойството на ъглополовящата [tex]CI[/tex] в [tex]\Delta ABC[/tex]
получаваме [tex]BI:IL=6:3[/tex].

Да означим с [tex]N[/tex] средата на [tex]AC[/tex]
От свойството на медицентъра [tex]BM:MN=2:1[/tex] и от теоремата на Талес

[tex]\Rightarrow MI |\, |AC[/tex]

Но тъй като [tex]NL=4-3=1[/tex], отново по теоремата на Талес [tex]\frac{MI}{NL}=2:3[/tex]