Задачи от изпит в ТУ

[Гост]

Здравейте, имам 2 задачи, на които не знам метода на решаване. Може би когато съм ги учил преди съм ги знаел, но сега като започнах да решавам тестове и не се сещам.

1. Да се намер наи-големият корен на уравнението:
(x²+x)(x²+x+2)=3

2. Да се намерят стойностите на параметъра a, за които неравенството
ax²-4x+3a+1>0
е изпълнено за всяко реално число x.

Ако можете да ми обясните по-подробно как се решават ще съм много благодарен

[Knowledge Greedy]

Тук
[tex](x^2+x)(x^2+x+2)=3[/tex]

заместваш [tex]x^2+x+1=u[/tex]

В първите скоби ти се получава [tex]u-1[/tex] , а във вторите [tex]u+1[/tex].

Уравнението става [tex](u-1)(u+1)=3[/tex]
- непълно квадратно уравнение. Лесно се решава. Разкрий скобите и прехвърли [tex]3[/tex]-ката отляво. Става [tex]u^2-4=0[/tex]. Разложи на множители. Всеки от тях ще ти даде по един корен.

Внимавай като връщаш полагането - от [tex]u[/tex] към [tex]x[/tex].
_________________________
Във втората задача няма как [tex]a<0[/tex].
Условието
[tex]ax^2-4x+3a+1>0[/tex] да е изпълнено за всяко [tex]x[/tex], става при отрицателна дискриминанта и [tex]a>0[/tex]

[tex]D=(-4)^2-4a(3a+1)<0[/tex]

равносилно е на [tex]12a^2+4a -16>0[/tex]

То се разлага така [tex](a-1)(3a+4)>0[/tex]
Решенията му са
[tex]\forall a\in (-\infty ;-\frac{4}{3})\cup (1;+\infty )[/tex], но като отчетем първото условие [tex]a>0[/tex],

остават само [tex]\forall a\in (1;+\infty )[/tex]
....................................
За втората задача мога да ти предложа още един начин, ако си добър с функции.
Разделяме параметъра от неизвестното така
[tex]ax^2+3a>4x-1[/tex]

[tex](x^2+3)a>4x-1[/tex]

[tex]a>\frac{4x-1}{x^2+3}[/tex] [tex](\ast)[/tex]

Ще изследваме функцията
[tex]f(x)=\frac{4x-1}{x^2+3}[/tex]

Първата и производна е [tex]f'(x)=\frac{-2(2x^2-x-6)}{(x^2+3)^2}[/tex]

Поради [tex]f'(x)>0[/tex] само [tex]\forall a\in (-\frac{3}{2 } ;2 )[/tex], в този интервал функцията е растяща и ще достигне своята най-голяма стойност при [tex]x=2[/tex].
(Останалите изследвания бързо дават хоризонтална асимтота [tex]y=0[/tex] и локалният екстремум се превръща в абсолютен.)

А тази стойност е [tex]f(2)=\frac{4.2-1}{2^2+3}=\frac{7}{7}=1[/tex]

Ето защо трябва [tex]a>1[/tex] - виж [tex](\ast)[/tex] и отговора по първия начин.

[Гост]

Благодаря за отговора, сега малко ми се поизясниха нещата, дано при следващите такива задачи да се справя.