граница(донякъде съм я решил)

[Гост]

Здравейте! Имам една задачка от граници и не знам как да продължа с решението.
Да се докаже, че [tex]\lim_{n \to inf} An[/tex] = 1/2

[tex]a= (1-\frac{1}{ 2^2})(1-\frac{1}{ 3^2}).....(1-\frac{1}{ n^2})[/tex]

Аз почнах да разписвам произведението като частно:

[tex]\frac{3*8*15*24*....(n^2-1)}{4*9*16*25*..n^2 }[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]\prod_{k=2}^{n}\left ( 1-\frac{1}{k^2 } \right )=[/tex]

[tex]=\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k+1)}{k^2 } =[/tex]

[tex]=\frac{ \prod_{k=2}^{n}(k-1)\prod_{k=2}^{n}(k+1)}{ \prod_{k=2}^{n}k\prod_{k=2}^{n}k } =[/tex]

[tex]=\frac{ \prod_{k=1}^{n-1}(k)\prod_{k=3}^{n+1}(k)}{ \prod_{k=2}^{n}k\prod_{k=2}^{n}k } =\frac{1.(n+1)}{n.2 }[/tex]

Щом [tex]A_n=\frac{n+1}{2n }[/tex] , границата явно е [tex]\frac{1}{2 }[/tex] .