Трапец

[Гост]

Измежду всички равнобедрени трапеци с остър ъгъл 45 градуса и сума [tex]a[/tex] на височината и голямата основа да се намери онзи, който има най-голямо лице.

[Zarrie]

Постр.[tex]DH \bot AB[/tex]
Нека [tex]AB=x,DC=y,DH=h[/tex]
За[tex]\Delta AHD,[/tex]от това, че [tex]\angle HAD=45^\circ \Rightarrow AH=HD \Rightarrow x-y = 2h[/tex]
За лицето на трапеца имаме[tex]S=(x-h)h[/tex]
От даденото ни в условието [tex]x+h=a \Rightarrow x=a-h \Rightarrow S=(a-2h).h[/tex]
Тъй като задачата е екстремална, изследваме лицето на функция на променливата [tex]h[/tex]
[tex]f_{(h)} = -2h^2 + ah[/tex]
ДМ на функцията е:
[tex]a-2h> 0 \Rightarrow h<\frac{a}{2} \cup h>0 \Rightarrow h \in (0;\frac{a}{2})[/tex]
Имаме квадратна функция, чиято графика е "обърната надолу"
Следователно максималната стойност на функцията се достига във точката, която е връх на параболата.
[tex]V = \frac{-b}{2a} \Rightarrow V=\frac{a}{4} \in (0;\frac{a}{2}) \Rightarrow[/tex] От това, че в интервала [tex](0: \frac{a}{4}) f_{(h)}[/tex]е растяща, а в интервала [tex](\frac{a}{4}; \frac{a}{2}) f_{(h)}[/tex] е намаляваща, следва, че
функцията има единствен максимум в интервала и той се достига при [tex]h=\frac{a}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{max} = \frac{a}{2}. \frac{a}{4} = \frac{a^2}{8}[/tex]