Равностранен триъгълник

[Гост]

Намерете лицето на равностранен триъгълник, вписан в квадрат със страна "а", при условие че един от върховете на триъгълника съвпада с връх на квадрата.

[monika_at]

rrnn.png (14.94 KiB) Прегледано 183 пъти

От [tex]\Delta ADP=>\frac{x}{ a} =cos15^\circ =>x=\frac{a}{cos15^\circ }[/tex]=>

[tex]S=x^2\frac{\sqrt{3} }{4 } = \frac{a^2\sqrt{3} }{2.2.cos^215^\circ } =\frac{a^2\sqrt{3} }{ 2(1+cos30^\circ )} =\frac{a^2\sqrt{3} }{2+\sqrt{3} }.\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3} }=(2\sqrt{3} -3)a^2[/tex]

[Zarrie]

Ето моето предложение за решение:
[tex]1) \Delta ABM \approx \Delta ADN[/tex]
Нека[tex]AD = AB = a, DN = MB = x, NC = CM = a-x[/tex]
От това, че [tex]NC = CN \cup \angle C = 90^\circ \Rightarrow \angle CMN = \angle CNM = 45^\circ \Rightarrow \angle AMB = 75[/tex]
[tex]\frac{a}{AM} = sin 75^\circ = sin(30+45) \Rightarrow \frac{a}{AM} = sin30.cos45 + cos30.sin45[/tex]
[tex]\frac{a}{AM} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \Rightarrow AM = \frac{4a}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}[/tex]
[tex]S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{2+\sqrt{3}[/tex]