НМС на функцията

[Гост]

Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2+ax+b[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални числа. Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex], ако [tex]f(x)\ge ax^2+bx+1\ge bx^2+x+a[/tex] за всяко реално число [tex]x[/tex].

[Гост]

[tex]minf(x)=f\left ( -\frac{1}{2} \right )= \frac{3}{4}[/tex]

[pal702004]

[tex]f(x) \ge g(x)\ge h(x)\;\forall x \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]f(0)\ge g(0) \;\Rightarrow\;b \ge 1[/tex]

[tex]f(x)-h(x) \ge 0,\quad (1-b)x^2+(a-1)x+b-a \ge 0 \; \forall x \in \mathbb{R} \;\Rightarrow\; 1-b \ge 0[/tex]

[tex]1-b\ge 0 \;\cup\; b \ge 1\;\Rightarrow b=1[/tex]

[tex](a-1)x+1-a \ge 0, \quad (a-1)(x-1) \ge 0 \; \forall x \in \mathbb{R} \;\Rightarrow\;a=1[/tex]

[tex]f(x)\equiv g(x)\equiv h(x)[/tex]

[tex]f(x)=x^2+x+1[/tex]