Параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които графиките на функциите [tex]f(x)=x^2+a[/tex] и [tex]g(x)=x^3[/tex] имат точно една обща допирателна.

[Zarrie]

Знаем, че производната на функцията в точката на допиране а равна на тангенса на ъгъла, който сключва допирателната с положителната част на оста Ох.
Тоест, ние искаме да съществува една единствена точка, в която допирателните на двете функции да съвпадат, тоест да обр. едни и същ ъгъл с оста Ох.
Намираме си производните на функциите:
[tex]f(x)=x^2 + a \Rightarrow f'(x) = 2x[/tex]
[tex]g(x)=x^3 \Rightarrow g'(x) = 3x^2[/tex] Тъй като искаме тангенсите да са равни, а техните стойности са равни на стойността на производната в точката, т.е. [tex]f'(x_{0}) = tg \varphi[/tex]
То ние искаме производните да са равни [tex]\Rightarrow f'(x) = g'(x)[/tex]
[tex]3x^2 -2x=0[/tex]
[tex]x=0/x=\frac{2}{3}[/tex]
Заместваме във функциите, с точките за х, които сме получили, за да открием стойностите на параметъра, за които това е изпълнено
Отг:
[tex]a=0[/tex]и[tex]a=- \frac{4}{27}[/tex]

[monika_at]

Зари, не ми харесва обосновката ти..

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]y=kx+b[/tex] е уравнението на допирателната.

Приравняваме производните, но стойностите им в две различни точки - [tex](x_1;x^2_1+a)[/tex] допирната точка на първата графика с допирателната и в [tex](x_2;x^3_2)[/tex] допирната точка на втората графика с допирателната.

[tex]k=2x_1=3x^2_2[/tex]

Това равенство показва, че за всяко положително [tex]k[/tex] през точка [tex](x_1;x^2_1+a)[/tex] от първата графика ще могат да се прекарат поне две допирателни едновременно към двете графики, защото има две стойности на [tex]x_2[/tex] при всяко [tex]x_1>0[/tex] .

Следователно не съществува стойност на параметъра [tex]a[/tex], за която условието на задачата да е изпълнено.

[Knowledge Greedy]

Моето решение е непълно.
Сега идва ред на пресмятанията на Zarrie.

Когато графиките на двете функции имат обща точка [tex]T[/tex] и в тази обща точка - една допирателна и към двете, равенството
[tex]k=2x_1=3x^2_2[/tex]

става [tex]k=2x_T=3x^2_T[/tex]

и от него следва [tex]x_T=\frac{2}{3}[/tex] .

Така намираме [tex]a=- \frac{4}{27}[/tex]

Стойността [tex]a=0[/tex] не е решение, защото в [tex]x_T=0[/tex] кубичната функция [tex]g(x)=x^3[/tex] има инфлексия, и там няма допирателна. Впрочем там бихме могли да дефинираме само едностранни допирателни. Поне две!

[pal702004]

В т. 0 кубичната функция няма допирателна, следователно при [tex]a=0[/tex] единствената обща допирателна към графиките на [tex]y=x^2[/tex] и [tex]y=x^3[/tex] остава [tex]y=\frac{64}{729}(27x-16)[/tex]

Допира първата графика в [tex]x=\frac{32}{27}[/tex], а втората в [tex]x=\frac{8}{9}[/tex] В такъв случай [tex]a=0[/tex] все пак е решение, макар мотивите на Zarrie да не са верни.(допира дваете графики в различни точки)

[Zarrie]

Благодаря, Knowledge Greddy, за поправката!
Много бих бил благодарен, ако обясните какво точно означава, това че
"Стойността a=0 не е решение, защото в x_T=0 кубичната функция g(x)=x^3 има инфлексия, и там няма допирателна. Впрочем там бихме могли да дефинираме само едностранни допирателни. Поне две!", защото мисля, че не разбирам

[Гост]

Който не вярва да провери, че правата[tex]l:y=12x-16[/tex] e обща допирателна към графиките на [tex]f(x)=x^2+20[/tex] и [tex]g(x)=x^3[/tex]. Tака, че [tex]a=20[/tex] e един от отговорите!
а=0 също е отговор!
И нова задача, за кои [tex]a[/tex] няма обща допирателна към[tex]f(x)[/tex] и [tex]g(x)[/tex]?

[pal702004]

Към Гост: Въпросът не е дали при някакво a ще има обща допирателна, а колко са те. В случая с [tex]a=20[/tex] ще има две допирателни и следователно 20 не е решение. Допитателната към [tex]y=x^3[/tex] в т. [tex](v,v^3)[/tex] има вид
[tex]y=3v^2x-2v^3[/tex], а към[tex]y=x^2+a[/tex] в т.. [tex](u,u^2+a)[/tex] има вид [tex]y=2ux-u^2+a[/tex].
За обща допирателна съставяме система:
[tex]\\2u=3v^2\\u^2-a=2v^3[/tex]
която се свежда до уравнението [tex]\frac 9 4 v^4-2v^3=a[/tex]
Това означава, че в зависимост от a ще има или 0, или 2 решения и само в случая, когато a е равно на минимума на функцията - точно едно, каквото се иска в задачата. В случая с [tex]a=20[/tex] има два корена, единият от които [tex]v=2[/tex]. Другият реален корен е ирационален и изглежда крайно неприятно, но така или иначе има две общи допирателни:
[tex]y=12x-16[/tex] и (коефициентите са приблизителни):

[tex]y=7.122717404410957817466564558x+7.316724194225306996568297204[/tex]