Естествено число n

[Гост]

Съществува ли естествено число [tex]n[/tex], за което числото [tex](\frac{2008}{n })^3+\frac{2008}{n }[/tex] е квадрат на рационално число?

[pal702004]

Въобще уравнението[tex]x^3+x=y^2[/tex] няма нетривиални решения в рационални числа.

[tex]\frac{p^3}{q^3}+\frac{p}{q}=\frac{qp^3+pq^3}{q^4},\quad \gcd(p,q)=1[/tex]

Тъй като знаменателя е квадрат, то и числителят трябва да е квадрат, тоест

[tex]pq(p^2+q^2)=z^2[/tex] вече в ествествени числа и тъй като p и q по условие са взаимнопрости, то и трите множителя са взаимнопрости, следователно трябва да са квадрати и се свежда до [tex]u^4+v^4=w^2[/tex], което няма решения - доказано още от Ферма чрез метода на безкрайното спускане. В този случай, с конкретно число е по-лесно:

[tex]2008n(2008^2+n^2)=z^2[/tex] Всички прости делители на 2008 са в нечетна степен, [tex]2008=2^3\cdot 251[/tex], така че [tex]n=2\cdot 251\cdot m[/tex], което се свежда до [tex]m(16+m^2)=t^2[/tex]

Ако m е нечетно, множителите са взаимнопрости, [tex]16+m^2=t_1^2[/tex], разлика на квадрати, единствено решение [tex]m=3[/tex], което обаче не е квадрат, ако m е четно - аналогично след съкращаване.