Медицентър

[Гост]

Нека [tex]G[/tex] е медицентър на правоъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB[/tex]. Да се намери възможно най-голямата стойност на [tex]cotg \angle AGB[/tex].

[Knowledge Greedy]

Считаме, че означенията са стандартните [tex]AB=c, \,\ BC=a\,\ CA=b[/tex]

Да използваме котангенсова теорема [tex]c^2=a^2+b^2-4Scotg \gamma[/tex]
за триъгълник [tex]\Delta ABG[/tex] и ъгъла [tex]\varphi = \angle ABG[/tex].

[tex]c^2=AG^2+BG^2-4S_{\Delta ABG}cotg \varphi[/tex]

При това, естествено ще използваме формулите за медианите.
След заместване [tex]AG^2=\left (\frac{2}{3}\sqrt{2BA^2+2BC^2-AC^2} \right \)^2[/tex]

и [tex]BG^2=\frac{4}{9}(2AB^2+2AC^2-BC^2)[/tex]

получаваме [tex]cotg \varphi =-\frac{2c^2}{3ab }[/tex]

Остава да направим оценката.
От неравенството между средно геометрично и средно квадратично [tex]\sqrt{ab } \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]
получаваме [tex]\frac{1}{ ab} \ge \frac{2}{a^2+b^2 }[/tex],

а от него [tex]-\frac{c^2}{ ab} \le -2[/tex], защото [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

Така [tex]cotg \varphi \le -\frac{4}{3}[/tex].

Максималната стойност се достига при [tex]a=b[/tex].