Намерете стойностите на реалния параметър

[Гост]

Намерете стойностите на реалния параметър "а'', за които уравнението ............ няма корени в интервала (0;1).

[Knowledge Greedy]

Къде е знакът за равенство в това уравнение?

[Гост]

= 0

[Knowledge Greedy]

Означаваме [tex]f(x)=ax^2-2(a-1)x+1[/tex]

I-ви случай. Уравнението изобщо няма решение.
[tex]D<0[/tex]
Оттук се получава [tex]a\in \left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} ;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )[/tex]

II-ри случай. Уравнението има два реални корена, които са и двата неположителни. С дискриминантата и с формулите на Виет за системата [tex]\begin{array}{|l}
D\ge 0& \\
-\frac{-2(a-1)}{2a } &\le 0 \\
\frac{1}{a } &\ge 0
\end{array}[/tex]
получаваме, че [tex]a\in \left (0 ;\frac{3-\sqrt{5}}{2} \right][/tex]

III-ти случай. Уравнението има два реални корена, които са и двата не по-малки от [tex]1.[/tex]
Със системата - за разположение на корените вдясно от дадено число имаме
[tex]\begin{array}{|l}
D\ge & 0 \\
-\frac{-2(a-1)}{2a} & \ge 1 \\
af(1) &\ge 0
\end{array}[/tex]
и получаваме само [tex]a=0[/tex]

IV-ти случай. Един от корените на уравнението е неположителен, а другият е не по-малък от [tex]1.[/tex]
Системата в случая е [tex]\begin{array}{|l}
af(0)<0 \\
af(1)<0
\end{array}[/tex]
и получаваме [tex]a\in \left (-\infty ;0 \right )[/tex]

Окончателно [tex]a\in \left (-\infty ;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )[/tex]

В този отговор е включено [tex]a=0[/tex], защото тогава единственият корен на полученото линейно уравнение е [tex]-\frac{1}{2}\notin (0;1)[/tex]

Втори начин
Ще решим задачата:
Намерете стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението има поне един корен в интервала [tex](0;1).[/tex] След това ще изключим тези стойности и ще получим отговора на първата задача.

I-ви случай. Уравнението има точно един корен в интервала [tex](0;1).[/tex]
Решаваме неравенството [tex]f(0)f(1)<0[/tex]
То дава [tex]a\in \left (3;+\infty \right )[/tex]

II-ри случай. И двата корена на уравнението са в интервала [tex](0;1).[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}
D & \ge0 \\
0< -\frac{-2(a-1)}{2a} & < 1 \\
af(0) &> 0 \\
af(1) &> 0
\end{array}[/tex]

Решенията на тази система изпълват интервала [tex]a\in \left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} ;3 \right )[/tex]

Окончателно [tex]a\in \left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} ; +\infty \right )[/tex]

Не е трудно да се проследи и защо [tex]a=3[/tex] е включено в решенията - за него полученото уравнение [tex]3x^2-4x+1=0[/tex] има един от своите корени [tex]x=\frac{1}{3}[/tex] да е корен от интервала [tex](0;1).[/tex]

[math10.com]

Аз бих подходил така:
1 случай:Върхът на параболата е в интервала (0,1)
[tex]\Rightarrow 0<\frac{2(a-1)}{2a}<1 \Rightarrow a>1[/tex]
Следва върхът на параболата е минимум и решаваме неравенството:
[tex]f(\frac{a-1}{a})>0 \Rightarrow 1-\frac{(a-1)^2}{a}>0 \Rightarrow \frac{a^2-3a+1}{a}<0[/tex]
[tex]\Rightarrow a\in (-\infty ;0)\cup (\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2})[/tex]
и тъй като в този случай [tex]a>1 \Rightarrow a\in (1;\frac{3+\sqrt{5}}{2})[/tex]

2 случай:Върхът на параболата е извън интервала (0,1)
[tex]\Rightarrow a\in (-\infty ;1][/tex]
[tex]f(0)=1>0[/tex]
[tex]\Rightarrow f(1)=a-2a+2+1=3-a>0 \Rightarrow a<3[/tex]
Окончателно за 2-ри случай: [tex]a\in (-\infty ;1][/tex]

Обединявайки 2-та случая получаваме крайното решение:
[tex]a\in (-\infty ;1]\cup a\in (1;\frac{3+\sqrt{5}}{2})[/tex] или [tex]a\in (-\infty ;\frac{3+\sqrt{5}}{2})[/tex]