Реципрочно уравнение

[Гост]

За кои стойности на реални параметър b уравнението няма реални корени ?

[ptj]

Общ вид и решаване на реципрочно уравнение:

[tex]ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0[/tex] | : [tex]x^2 (x\ne 0)[/tex]

[tex]ax^2+bx+c+\frac{b}{x }+\frac{a}{x^2 }=0[/tex]

[tex]a(x^2+\frac{1}{x^2 })+b(x+\frac{1}{x })+c=0[/tex]

Полагаме [tex]x+\frac{1}{x }=y[/tex] и получаваме [tex]a(y^2-2)+by+c=0[/tex] и т.н.

Ако [tex]x_1[/tex] е едно решение на реципрочното уравнение, то [tex]\frac{1}{x_1 }[/tex] също е решение, т.е. нито един от корените не може да бъде равен на 0 .

Остава само да приложиш теорията ( да съобразиш кога няма корени)...

[Knowledge Greedy]

Решаваме по стандартния начин - делим на [tex]x^2[/tex] (позволено, поради [tex]x\ne 0[/tex] )и полагаме [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex].
1. Ако полученото квадратно уравнение [tex]3u^2+2(b-3)u+2b-6=0[/tex] няма реални корени, то и даденото няма да има реални корени. За това решаваме неравенството с дискриминантата [tex]D=(b-3)(b-9)<0 \Leftrightarrow b\in (3; 9)[/tex].

2. Ако полученото квадратно уравнение [tex]3u^2+2(b-3)u+2b-6=0[/tex] има реални корени [tex]u_1[/tex] и [tex]u_2[/tex] , то те трябва да са в интервала [tex](-2; 2)[/tex]. Получените дробни уравнения [tex]x+\frac{1}{x}=u_1[/tex] и [tex]x+\frac{1}{x}=u_2[/tex] се свеждат до квадратни, които нямат реални корени. Защо? Защото [tex]x+\frac{1}{x}\ge 2[/tex] при [tex]\forall x>0[/tex] и [tex]x+\frac{1}{x}\le -2[/tex] - при [tex]\forall x<0[/tex].
Всичко това се концентрира в решението на системата
[tex]\left|\begin{matrix}
D\ge 0 \\
3f(-2)>0\\
3f(2)>0\\
-\frac{2(b-3)}{6}<2 \\
-\frac{2(b-3)}{6}>-2
\end{matrix}\right.[/tex]
където сме означили
[tex]f(u)=3u^2+2(b-3)u+2b-6[/tex]

Решенията на системата са [tex]\forall b: \,\ b\in (1; 3][/tex]
Обединявайки резултатите на двата случая, намираме [tex]\forall b:\,\ b\in (1; 9)[/tex]

[ptj]

Пояснение защо [tex]x+\frac{1}{x}\ge 2[/tex] при [tex]\forall x>0[/tex] и [tex]x+\frac{1}{x}\le -2[/tex] - при [tex]\forall x<0[/tex].

1.)При [tex]x>0[/tex]

[tex](x-1)^2\ge 0[/tex]

[tex]x^2 -2x+1\ge 0[/tex] делим на [tex]x\ge 0[/tex] и получаваме:

[tex]x+\frac{1}{x } \ge 2[/tex]

2.)При [tex]x<0[/tex]

[tex](x+1)^2\ge 0[/tex]

[tex]x^2 +2x+1\ge 0[/tex] делим на [tex]x\le 0[/tex] и получаваме:

[tex]x+\frac{1}{x } \le -2[/tex]

П.П. Друга възможност за доказателство е чрез прилагане на неравенството между средно аритметично и средно геометрично.

[Knowledge Greedy]

Още един подход - полезен за кандидатстудентите.
За да намалим стреса при разглеждането на алгебрични случаи, може да опитаме аналитично решение - с изследване на функция на една реална променлива. За съжаление на тези, които не са на "ти" с алгебричните преобразувания, тук също има доста от тях.
Уравнението представяме така [tex]2b(x^3+x^2+x)=-3x^4+6x^3+6x-3[/tex]
Явно е, че [tex]x\ne 0[/tex], а [tex]x^2+x+1>0[/tex] за реални [tex]x[/tex]. Като разделим на [tex]2(x^3+x^2+x)[/tex], получаваме
[tex]b=-\frac{3}{2}f(x)[/tex],

където [tex]f(x)=\frac{x^4-2x^3-2x+1}{x^3+x^2+x}[/tex]

За по-леко изследване на функцията, отделяме цяла част
(главна част в безкрайността, или още - наклонена асимптота).
Всеки след VII клас може да го направи - нарича се "деление на ъгъл".
[tex]f(x)=x-3+\frac{2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}[/tex]

Намираме първата производна.
[tex]f'(x)=1+\frac{-2x^4-2x^3-2x^2-2x-1}{(x^3+x^2+x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{(x^3+x^2+x)^2-2x^4-2x^3-2x^2-2x-1}{(x^3+x^2+x)^2}[/tex]


[tex]f'(x)=\frac{(x^3+x^2+x)^2-2x(x^3+x^2+x)+x^2-x^2-2x-1}{(x^3+x^2+x)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{(x^2+1)(x+1)^3(x-1)}{(x^3+x^2+x)^2}[/tex]

Оттук определяме интервалите на растене и намаляване, локалните екстремуми, поведението в близост до вертикалната асимптота [tex]x=0[/tex], разположението на графиката по отношение на наклонената асимптота [tex]y=x-3[/tex] и чертаем самата графика (може и без нея ).

Зона без графика.PNG (13.97 KiB) Прегледано 2927 пъти

Можем да напишем: множеството от стойностите на функцията е обединението на интервалите [tex](-\infty ; -6]\cup \left [ -\frac{2}{3 } ;+\infty \right )[/tex]
И обратно - в ивицата между сините прави с уравнения [tex]y=y_{min}=-\frac{2}{3 }[/tex] и [tex]y=y_{max}=-6[/tex] няма червени точки - от графиката на функцията.
Това означава, че уравнението от началото [tex]b=-\frac{3}{2}f(x)[/tex] няма решения при [tex]b\in (-9;-1)[/tex].