Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник с основа 10 и бедро 13. Да се намери разстоянието между ортоцентъра на триъгълника и центъра на вписаната в него окръжност.

[Zarrie]

Построяваме си височините [tex]CC_{1} \bot AB ,AA_{1}\bot BC, BB_{1}\bot AC[/tex]
Нека ортоцентърът ни е H
триъгълник ABC е равнобедрен, следователно центърът на вписаната окръжност лежи на отсечката [tex]CC_{1}[/tex]
Построяваме си ъглополовяща през върха B и намираме центъра на вп. окр.
Нека той е точката О. Търсим OH.
[tex]OC_{1} = r[/tex]
OT [tex]\Delta ABC \Rightarrow S_{ABC} = 60 = pr \Rightarrow r=\frac{10}{3}[/tex]
Лицето на ABC можем да намерим по няколко начина:
Като сбор на лицата на правоъгълните триъгълници AC1C,BC1C,
като намерим с ПТ CC1 и намерим лицето по формулата [tex]\frac{AB.CC_{1}}{2}[/tex]
Като намерим синуса на ъгъла при върха и използваме формулата a.b.sinγ
Ъгълът образуван от ортоцентъра ([tex]\angle AHB = 180 - \angle ACB[/tex]
Доказва се чрез двата правоъгълни триъгълника образувани от височините.
Намираме си косинуса при върха, нека го наречем [tex]\phi[/tex]
[tex]cos \frac{\phi}{/2} = \frac{12}{13}[/tex]
[tex]cos\phi =1-2sin^{2}(\frac{\phi}{2})[/tex]
[tex]cos\phi=\frac{119}{169}[/tex]
[tex]cos\angle AHB =cos(180-\phi)=-cos\phi=-\frac{119}{169}[/tex]
Прилагайки косинусова теорема за т-к AHB откриваме, че AH=BH=[tex]\frac{65}{12}[/tex]
и с питагорова теорема намираме [tex]HC_{1} = \frac{25}{12}[/tex]
Изваждаме [tex]OC_{1}-HC_{1} = OH \Rightarrow OH = \frac{5}{4}[/tex]
Надявам се няма технически грешки, защото смятах набързо.