правоъгълен триъгълник

[Гост]

В правоъгълен триъгълник дължината на хипотенузата е равна 1. Да се намери най-малката стойност на сумата от третите степени на дължините на катетите.

[MENKA]

c=1
b=x
a=(1-x²)^1/2
f(x)=a³+b³,където х<1

Заместете с равните на а и b и се получава функциа на х.След това намерете първата производна и приравнете тази производна на 0.
Получените отговори за х са решение на задачата.

[monika_at]

c=1
b=x
a=(1-x²)^1/2
f(x)=a³+b³,където х<1

Заместете с равните на а и b и се получава функциа на х.След това намерете първата производна и приравнете тази производна на 0.
Получените отговори за х са решение на задачата.

Би ли разписала подробно задачата?

[Zarrie]

Нека ъгъл CAB = α
sin α=a
cos α=b
следователно търсим НМС на израза [tex]sin^{3} \alpha + cos^3\alpha[/tex]
Разписваме по формула за сбор от трети степени и полагаме [tex]sin\alpha +cos\alpha =t[/tex]
За да изразим сбора повдигаме горния израз на втора и от там изразяваме [tex]sin\alphacos\alpha=\frac{t^1-1}{2}[/tex]
Получаваме функция за t
[tex]f(t)=\frac{3t-t^3}{2}[/tex]
ъгъл алфа е остър, следователно [tex]sin\alpha > sin^{2} \alpha, cos \alpha > cos^{2} \alpha \Rightarrow sin \alpha + cos\alpha >1[/tex] [tex]t\in(1;\sqrt{2}][/tex]
Намираме си [tex]f'(t)=\frac{3-3t^2}{2}[/tex]от тук и критичната точка, в интервала, който ни интересува е 1
в t=1 имаме локален максимум, от което следва, че най-малката стойност на функцията ще е в [tex]t=\sqrt{2}[/tex]
[tex]f({\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] което е и най-малката стойности на функцията f(t) И НМС на стойността [tex]a^{3} + b^{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[inveidar]

ъгъл алфа е остър, следователно [tex]sin\alpha > sin^{2} \alpha, cos \alpha > cos^{2} \alpha \Rightarrow sin \alpha + cos\alpha >1[/tex] [tex]t\in(1;\sqrt{2}][/tex]

Това понакуцва. Предлагам да го направиш както обикновенно [tex]sin \alpha+cos \alpha=\sqrt{2}cos(\alpha-\frac{\pi }{4 }[/tex]...

[monika_at]

И защо да понакуцва? Абсолютно вярно си е за остър ъгъл.

[inveidar]

Защото от [tex]sin \alpha+cos \alpha>sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1[/tex] не следва, че 1 е точната долна граница на [tex]sin \alpha+cos \alpha[/tex]. Това е от ясно по-ясно.

[inveidar]

И защо да понакуцва? Абсолютно вярно си е за остър ъгъл.

Вярно е, но за изследването на функцията не ни върши работа. Друг е въпросът, че в случая 1 е наистина търсената стойност.

[Гост]

c=1
b=x
a=(1-x²)^1/2
f(x)=a³+b³,където х<1

Заместете с равните на а и b и се получава функциа на х.След това намерете първата производна и приравнете тази производна на 0.
Получените отговори за х са решение на задачата.

Би ли разписала подробно задачата?

Гаанке, защо се заяждаш? Не е трудна сметката по този начин.

[monika_at]

Защото от [tex]sin \alpha+cos \alpha>sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1[/tex] не следва, че 1 е точната долна граница на [tex]sin \alpha+cos \alpha[/tex]. Това е от ясно по-ясно.

Разбира се, че не следва, че е точна долна граница. Факт е, че тази сума от син и кос на остър ъгъл се изменя в [tex](1; \sqrt{2} ][/tex]

[kmitov]

Наистина може и така.

[tex]f(x)=x^3+(1-x^2)^{3/2}[/tex] за [tex]x \in [0,1][/tex]

[tex]f'(x)=3x^2+\frac{3}{2}(1-x^2)^{1/2}(-2x)=3x(x-\sqrt(1-x^2))[/tex]

[tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]3x(x-\sqrt(1-x^2))=0[/tex]

[tex]3x=0 \ \ \Rightarrow[/tex] [tex]x_1=0[/tex]

[tex](x-\sqrt(1-x^2))=0\ \ \ \Leftrightarrow[/tex] [tex]x=\sqrt(1-x^2) \ \ \ \Leftrightarrow[/tex] [tex]x^2=1-x^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \ \ 2x^2=1\ \ \ \ \Leftrightarrow[/tex] [tex]x^2=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \[/tex] [tex]x_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

За да намерим НМС и НГС на [tex]f(x)[/tex] в интервала [tex][0,1][/tex], пресмятаме

[tex]f(0)=1[/tex]

[tex]f(1)=1[/tex]

[tex]f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Така НМС на [tex]f(x)[/tex] e [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[inveidar]

Разбира се, че не следва, че е точна долна граница. Факт е, че тази сума от син и кос на остър ъгъл се изменя в [tex](1; \sqrt{2} ][/tex]

Пак ли почваме с глупостите? Че е факт, факт е! Но не следва от написаното. Това означава, че решението е НЕПЪЛНО!

[monika_at]

Напротив, решението е абсолютно вярно. Ако не си разбрал, визирахме само >1. Фактът, че сумата е по-малка или равна на корен от 2, мисля, че трябва да се знае.

[ptj]

[tex]x^2+y^2=1[/tex]

[tex]F=x^3+y^3=x^3+(\sqrt{1-x^2})^3=(x^2)^{\frac{3}{2 }}+(1-x^2)^{\frac{3}{2 }}[/tex]

[tex](\frac{(x^2)^{\frac{3}{2 }}+(1-x^2)^{\frac{3}{2 }}}{2 } )^{\frac{2}{3 }}\ge \frac{x^2+(1-x^2)}{2 }[/tex]

[tex](\frac{F}{2 })^{\frac{2}{3 } }\ge 2^{-1}[/tex]

[tex]\frac{F}{ 2}\ge 2^{-\frac{3}{2 } }[/tex]

[tex]F\ge 2^{-\frac{1}{2 }}=\frac{1}{\sqrt{2} }[/tex]

П.П. Само не съм сигурен дали има доказателство на неравенството

[tex]\sqrt[k]{\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n } }\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n }[/tex]

за дробен показател.

[Гост]

Дааа, великите са си велики, други решения освен тяхното не ги интересуват. Тъпанарска история.

[inveidar]

Напротив, решението е абсолютно вярно. Ако не си разбрал, визирахме само >1. Фактът, че сумата е по-малка или равна на корен от 2, мисля, че трябва да се знае.

Решението е вярно ако е доказано правилно, че t е от въпросния интервал. Това, обаче, не е така. А, ако ти, Ганке, си нямаш друга работа освен да се заяждаш и да предизвикваш, то това си е лично твой проблем.
И точно по-голямо от 1 е проблемът, ако не си разбрала! Ако едно число е по-голямо от две, то е по-голямо и от едно, нали?!

[inveidar]

Дааа, великите са си велики, други решения освен тяхното не ги интересуват. Тъпанарска история.

Какво те мъчи, Митов? Питаш за дробен рационален показател, нали? Едно повдигане на степен знаменателя ще ти свърши работа, не мислиш ли?

[ptj]

Дааа, великите са си велики, други решения освен тяхното не ги интересуват. Тъпанарска история.

Има известна разлика между приложение на първата производна и неравенство между средните...

П.П. Краткостта на решението ми бе основната причина да го публикувам.

[monika_at]

Напротив, решението е абсолютно вярно. Ако не си разбрал, визирахме само >1. Фактът, че сумата е по-малка или равна на корен от 2, мисля, че трябва да се знае.

Решението е вярно ако е доказано правилно, че t е от въпросния интервал. Това, обаче, не е така. А, ако ти, Ганке, си нямаш друга работа освен да се заяждаш и да предизвикваш, то това си е лично твой проблем.
И точно по-голямо от 1 е проблемът, ако не си разбрала! Ако едно число е по-голямо от две, то е по-голямо и от едно, нали?!

Май си прекалил с празниците! Визираме факта, че, ако имаме син и кос на остър ъгъл, то този сбор е по-голям от 1.. Ако не вдяваш, направи си единична окръжност и направи неравенство в триъгълника. Фактът, че [tex]sin\alpha \mp cos\alpha \le \sqrt{2}[/tex] се надявам един кандидатстудент да го знае.

[inveidar]

Ганке, аз много добре вдявам и съм написал друг начин за това, че синус плюс косинус от един и същи остър ъгъл е по-голям от 1, от който следва, че това е точната долна граница. Ти явно не искаш да разбереш, че в решението на детето е написано нещо, от което НЕ СЛЕДВА, че това 1 е точната граница?! Не следва и от твоето бодряшко изказване за неравенството на триъгълника. Как не можеш да разбереш, че въпросът не е дали сборът е по-голям от 1, а дали това число ЕДНО е края на интервала?!?!?! И не е необходимо да обиждаш, че ако почна и аз, ще изгубим детската аудитория!

[monika_at]

Ти не вдяваш. 1 не е число, което е край на интервала. В 1 интервалът е отворен!.

[inveidar]

Ти не вдяваш. 1 не е число, което е край на интервала. В 1 интервалът е отворен!.

Даааа, но само 1 не е в интервала, Ганке! А това, което ти пробутваш с неравенството на триъгълника и което е в решението на детето не ни гарантира, че интервала е този. Може да е, примерно, [tex](1,2;\sqrt{2})[/tex]. Наистина ли не разбираш за какво става дума?! Почвам да си мисля лоши работи за теб.

[math10.com]

Защо не изследваме направо функцията :

[tex]f(\alpha)=sin^3 \alpha +cos^3\alpha[/tex] , за [tex]\alpha \in (0;\frac{\pi}{2})[/tex]

[tex]f'(\alpha)=3sin^2\alpha .cos \alpha-3sin \alpha .cos^2\alpha =3sin \alpha .cos \alpha (sin \alpha -cos \alpha )[/tex]

[tex]f'(\alpha )=0 \Rightarrow \alpha_1=0 ; \alpha_2=\frac{\pi}{2} ; \alpha_3=\frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]f''(\alpha)=6sin \alpha .cos \alpha (sin \alpha +cos \alpha )-3(sin^3 \alpha +cos^3 \alpha )[/tex]

[tex]f''(0)=-3 <0\Rightarrow \alpha =0 \Rightarrow \alpha =0[/tex] е локален максимум

[tex]f''(\frac{\pi}{2})=-3 <0 \Rightarrow \alpha =\pi \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}[/tex] е локален максимум

[tex]f''(\frac{\pi }{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}>0 \Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}[/tex] е локален минимум

[tex]\Rightarrow f(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] е НМС