Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC със страна AB=8 ъгъл BAC= 60 градуса и радиус на вписаната окръжност r = √3. Да се пресметнат дължините на другите две страни на триъгълника.

[Zarrie]

Намираме центъра на вп. окр., който лежи на пресечната точка на ъглополовящите.
От което следва, че ако центърът е точката О, то [tex]\angle OAB = 30^\circ[/tex]
Нека окръжността се допира до страните на триъгълника в точките М,N и P.
От триъгълник OAN [tex]\Rightarrow \frac{ON}{AN} = tg \angle OAN[/tex]
ON = r = √3 и [tex]\angle OAN = \frac{1}{2}\angle BAC \Rightarrow AN =3 = AM \Rightarrow NB = 5 = PB[/tex]
Остава ни да намерим отсечката MC = PC
Нека я означим с х
От формулите за лице на триъгълник [tex]\frac{absin\alpha}{2}[/tex][tex]=pr[/tex]
Следва равенството
[tex]\frac{8(3+x)\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}(8+x)[/tex]
Откъдето намираме, че х=2
АC = 3+x = 5
BC = 5+x=7

[ptj]

Задачата може да се решава и без чертеж.

[tex]2S=b.c.sin{\alpha }=8.b.sin{\frac{\pi }{3 } }=4b\sqrt{3}[/tex]

[tex]a^2=b^2+c^2-2bc.cos{\alpha} =b^2+8^2-2b.8.cos\frac{\pi }{3 }=b^2-8b+64[/tex]

[tex]2S=p.r=(8+b+\sqrt{b^2-8b+64})\sqrt{3}[/tex]

[tex]4b=8+b+\sqrt{b^2-8b+64}[/tex]

[tex]3b-8=\sqrt{b^2-8b+64}[/tex] , (Деф.Мн. : [tex]b\ge\frac{8}{3 }[/tex] )

[tex]9b^2-48b+64=b^2-8b+64[/tex]

[tex]b^2-5b=0[/tex]

[tex]b=5[/tex] (0-лата не е решение)

[tex]a=\sqrt{b^2-8b+64}=\sqrt{(b-4)^2+48}=\sqrt{49} =7[/tex]

[math10.com]

Може и така:
[tex]p-a=3 \Rightarrow a=p-3[/tex]
[tex]p-b=5\Rightarrow b=p-5[/tex] (Намират се с Питагорова теорема)
Сега една Косинусова теорема за ъгъл [tex]\alpha[/tex]
[tex]a^2=b^2+c^2-2b.c.cos \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow (p-3)^2=(p-5)^2+64-2(p-5).8.\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \cancel{p^2}-6p+9=\cancel{p^2}-10p+25+64-8p+40[/tex]
[tex]\Rightarrow p=10[/tex]
[tex]a=p-3=7 ; b=p-5=5[/tex]