Параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]a[/tex], при които уравнението [tex]\sqrt{x-3}+ax=2a+3[/tex] има единствено решение.

[math10.com]

[tex]\sqrt{x-3}+ax=2a+3[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+ax-3a+a-3=0[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+a(x-3)=3-a[/tex]

Полагаме :[tex]\sqrt{x-3}=t \Rightarrow t^2=x-3 (t\ge 0)[/tex]

[tex]\Rightarrow at^2+t+a-3=0[/tex]

1сл.[tex]a=0 \Rightarrow t=3 \Rightarrow x=12[/tex]

2сл.[tex]a\ne 0[/tex]

Първото неравенство гарантира съществуването на корен , а второто (Формули на Виет)гарантира точно 1 неотрицателен.
[tex]\begin{tabular}{|l}D=1-4a^2+12a\ge 0 \Rightarrow 4a^2-12a-1 \le 0 \Rightarrow a\in [-\frac{3+\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}-3}{2}]\\\frac{a-3}{a} \le 0 \Rightarrow a\in (0;3]\end{tabular}[/tex]


Обединявайки двата случая получаваме:
[tex]a\in [0;\frac{\sqrt{10}-3}{2}][/tex]

[Гост]

[tex]\sqrt{x-3}+ax=2a+3[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+ax-3a+a-3=0[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+a(x-3)=3-a[/tex]

Полагаме :[tex]\sqrt{x-3}=t \Rightarrow t^2=x-3 (t\ge 0)[/tex]

[tex]\Rightarrow at^2+t+a-3=0[/tex]

1сл.[tex]a=0 \Rightarrow t=3 \Rightarrow x=12[/tex]

2сл.[tex]a\ne 0[/tex]

Първото неравенство гарантира съществуването на корен , а второто (Формули на Виет)гарантира точно 1 неотрицателен.
[tex]\begin{tabular}{|l}D=1-4a^2+12a\ge 0 \Rightarrow 4a^2-12a-1 \le 0 \Rightarrow a\in [-\frac{3+\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}-3}{2}]\\\frac{a-3}{a} \le 0 \Rightarrow a\in (0;3]\end{tabular}[/tex]


Обединявайки двата случая получаваме:
[tex]a\in [0;\frac{\sqrt{10}-3}{2}][/tex]

Не трябва ли D=0? Иска се единствено решение, но не е определено дали е неотрицателно или отрицателно.

[math10.com]

Просто съм оплескал корените на квадратното неравенство за Дискриминантата .....

[Knowledge Greedy]

[tex]x\ge 3[/tex]
Затова може да разделим на [tex]x-2[/tex]
и представяме уравнението във вида
[tex]a=\frac{3-\sqrt{x-3} }{x-2 }[/tex]
Изследваме функцията [tex]f(x)=\frac{3-\sqrt{x-3} }{x-2 }[/tex]
Производната и
[tex]f'(x)=\frac{x-4-6\sqrt{x-3} }{2(x-2)^2 \sqrt{x-3}}[/tex]

става нула при [tex]x=22+6\sqrt{10}[/tex], (другият корен е по-малък от [tex]3[/tex])

като в [tex](3;\,\ 22+6\sqrt{10} )[/tex] е отрицателна, а [tex]\forall x>22+6\sqrt{10}\Rightarrow f'(x)>0[/tex]
Ето защо уравнението [tex]f(x)=a[/tex] има единствено решение [tex]x[/tex], когато не повтаря стойностите си, а именно в интервала за [tex]a \in [0;\,\ 3][/tex]
Това единствено решение [tex]x[/tex], [tex]x\in [3;12][/tex] - в зависимост от [tex]a[/tex].
Причината - функцията [tex]f(x)[/tex] намалява в [tex][3;12][/tex] с неотрицателни стойности, докато в интервала [tex](12; \,\ 22+6\sqrt{10})[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] намалява с отрицателни стойности, а след това повтаря тези стойности в интервала [tex](22+6\sqrt{10}; \,\ +\infty )[/tex] - растейки.
Последното се случва със сигурност, тъй като [tex]\lim_{x \to \infty }f(x)=0[/tex] и функцията е непрекъсната.
Графиката е нагодена, за да се вижда с просто око - не са спазени пропорции и мащаби.

Параметър - аналитично.PNG (3.87 KiB) Прегледано 240 пъти

Отговор: [tex]a \in [0;\,\ 3][/tex]

[Гост]

[tex]x\ge 3[/tex]
Затова може да разделим на [tex]x-2[/tex]
и представяме уравнението във вида
[tex]a=\frac{3-\sqrt{x-3} }{x-2 }[/tex]
Изследваме функцията [tex]f(x)=\frac{3-\sqrt{x-3} }{x-2 }[/tex]
Производната и
[tex]f'(x)=\frac{x-4-6\sqrt{x-3} }{2(x-2)^2 \sqrt{x-3}}[/tex]

става нула при [tex]x=22+6\sqrt{10}[/tex], (другият корен е по-малък от [tex]3[/tex])

като в [tex](3;\,\ 22+6\sqrt{10} )[/tex] е отрицателна, а [tex]\forall x>22+6\sqrt{10}\Rightarrow f'(x)>0[/tex]
Ето защо уравнението [tex]f(x)=a[/tex] има единствено решение [tex]x[/tex], когато не повтаря стойностите си, а именно в интервала за [tex]a \in [0;\,\ 3][/tex]
Това единствено решение [tex]x[/tex], [tex]x\in [3;12][/tex] - в зависимост от [tex]a[/tex].
Причината - функцията [tex]f(x)[/tex] намалява в [tex][3;12][/tex] с неотрицателни стойности, докато в интервала [tex](12; \,\ 22+6\sqrt{10})[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] намалява с отрицателни стойности, а след това повтаря тези стойности в интервала [tex](22+6\sqrt{10}; \,\ +\infty )[/tex] - растейки.
Последното се случва със сигурност, тъй като [tex]\lim_{x \to \infty }f(x)=0[/tex] и функцията е непрекъсната.
Графиката е нагодена, за да се вижда с просто око - не са спазени пропорции и мащаби.

Параметър - аналитично.PNG

Отговор: [tex]a \in [0;\,\ 3][/tex]

[tex]\frac{3-\sqrt{10} }{2 }[/tex] не трябва ли и то да се включи към решенията освен [tex]a \in [0;3][/tex] и окончателно да стане [tex]a \in {\frac{3-\sqrt{10} }{2 } } \cup [0;3][/tex].

[Knowledge Greedy]

Това мисля сега. Изненадах се от вашия резултат.

[Гост]

Като се замисля , има грешка в написаното , но не е там където си мислиш.
Иска се единствено решение за [tex]x[/tex].Дискриминантата ако е положителна ще получим две решения за [tex]t[/tex].
Заради това ползваме формулите на Виет , така че само едно от тези 2 да е неотрицателно число.При отрицателните [tex]t[/tex] няма решение за [tex]x[/tex]
Ако дискриминантата е нула то трява двойния корен да е неотрицателен т.е

[tex]\begin{tabular}{|l}D=0 ; \Rightarrow a_1=-\frac{\sqrt{10}+3}{2}; a_2=\frac{\sqrt{10}-3}{2}\\-\frac{1}{a}>0 \Rightarrow a<0\end{tabular}[/tex]

Тогава окончателното решение ще има вида:[tex]a\in [-\frac{\sqrt{10}+3}{2}]\cup (0;\frac{\sqrt{10}-3}{2})[/tex]

Мисля, че има грешка при изчисление на корените, но и после в разсъжденията също май нещо е сбъркано.

[math10.com]

хич нямам грешка в разсъжденията и да [tex]a=\frac{3-\sqrt{10}}{2}[/tex] също е решение.
Просто [tex]D>0 \Rightarrow a\in (\frac{3-\sqrt{10}}{2};\frac{3+\sqrt{10}}{2})[/tex]

[Knowledge Greedy]

О, да - във вашето решение с math10.com има следното

...
2сл.[tex]a\ne 0[/tex]
Първото неравенство гарантира съществуването на корен , а второто (Формули на Виет)гарантира точно 1 неотрицателен.
[tex]\begin{tabular}{|l}D=1-4a^2+12a\ge 0 \Rightarrow 4a^2-12a-1 \le 0 \Rightarrow a\in \left [ \frac{3-\sqrt{10}}{2};\frac{3+\sqrt{10}}{2} \right ];\\\frac{a-3}{a} \le 0 \Rightarrow a\in (0;3]\end{tabular}[/tex]

В цитата съм нанесъл поправка на краищата на интервала. Така той съдържа вече интервала [tex](0; \,\ 3][/tex] и сечението е точно [tex](0; \,\ 3][/tex] .

Обединено с първия случай, се получава [tex][0; \,\ 3][/tex]
-------------------------------
Това е хубав пример, в който алгебричното решение е много по-кратко и бързо от аналитичното

[math10.com]

[tex]\sqrt{x-3}+ax=2a+3[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+ax-3a+a-3=0[/tex]

[tex]\sqrt{x-3}+a(x-3)=3-a[/tex]

Полагаме :[tex]\sqrt{x-3}=t \Rightarrow t^2=x-3 (t\ge 0)[/tex]

[tex]\Rightarrow at^2+t+a-3=0[/tex]

1сл.[tex]a=0 \Rightarrow t=3 \Rightarrow x=12[/tex]

2сл.[tex]a\ne 0[/tex]

Първото неравенство гарантира съществуването на 2 корена , а второто (Формули на Виет)гарантира точно 1 неотрицателен.
[tex]\begin{tabular}{|l}D=1-4a^2+12a> 0 \Rightarrow 4a^2-12a-1 < 0 \Rightarrow a\in (\frac{3-\sqrt{10}}{2};\frac{3+\sqrt{10}}{2}]\\\frac{a-3}{a} \le 0 \Rightarrow a\in (0;3]\end{tabular}[/tex]

Първото гарантира двоен корен , а второто да е положителен
[tex]\begin{tabular}{|l}D=0 \Rightarrow a_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2} ;a_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}\\-\frac{1}{a}<0 \Rightarrow a<0\end{tabular}[/tex]


Обединявайки двата случая получаваме:
[tex]a\in[\frac{3-\sqrt{10}}{2}]\cup [0;3][/tex]

Ето така мисля че е ок

[Гост]

Knowledge Greedy, стана ми интересно в аналитичното ти решение какъв е пропускът?

[ptj]

Решението на Knowledge Greedy е отлично, но не е съобразил, че върха на графиката [tex]22+\sqrt{6}[/tex] също се достига само веднъж.
Той дава пропуснатото съответно решение за [tex]x=\frac{3-\sqrt{10} }{2 }[/tex]

П.П. Всички контестации може да отправяте към http://www.wolframalfa.com .

[Knowledge Greedy]

Решението на Knowledge Greedy е ..., но не е съобразил, че върхът на графиката В [tex]22+6\sqrt{10}[/tex] също се достига само веднъж.
Той дава пропуснатото съответно решение за [tex]a=\frac{3-\sqrt{10} }{2 }[/tex]

Благодаря, ptj!
Разбира се, мястото в което стойностите спират да се повтарят е върхът на на графиката.

Параметър - аналитично.PNG (4.25 KiB) Прегледано 201 пъти

[tex]f(22+6 \sqrt{10})=\frac{3-\sqrt{19+6\sqrt{10} } }{20+6\sqrt{10} } =\frac{3-\sqrt{10}}{2}[/tex]
Значи отговорът
[tex]a\in \left { \frac{3-\sqrt{10}}{2} \right }\cup [0; \,\ 3][/tex]
е точен.

И да, неведнъж съм казвал на моите ученици - използвайте http://www.wolframalpha.com - чудесен помощник за пресмятания.

[ptj]

Да, разменил съм [tex]x[/tex] и [tex]a[/tex].
Още като ученик често правих подобни грешки от бързане или недоглеждане...