Функции

[Гост]

Измежду всички квадратни функции [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], удоволетворяващи условията [tex]|f(-1)|\le 1[/tex] и [tex]|f(1)|\le 1[/tex], да се намерят тези, които имат възможно най-малка дискриминанта.

[pal702004]

[tex]\min\quad b^2-4ac[/tex]

[tex]|a+b+c| \le 1[/tex]
[tex]|a-b+c| \le 1[/tex]

И за целевата функция, и за ограничителните условия оптималното е [tex]b=0[/tex], и тъй като [tex]4ac \le (a+c)^2 \le 1[/tex], при това равенство се достига при [tex]a=c[/tex], решението е [tex]b=0,\;a=c=\pm \frac 1 2[/tex]

[pal702004]

Да го разпишем формално:
[tex]\min\quad b^2-4ac \Leftrightarrow \max\quad 4ac-b^2[/tex]

[tex]4ac-b^2 \le (a+c)^2-b^2=(a+c-b)(a+b+b)\le |a+c-b|\cdot|a+c+b| \le 1[/tex]

При това равенства се достигат при:
1) [tex]a=c[/tex] първото неравенство
2) [tex](a+c+b)(a+c-b) \ge 0[/tex] второто неравенство

от ограничителните условия
3) [tex]|a+c+b|=1[/tex]
4) [tex]|a+c-b|=1[/tex]

От 2,3,4
[tex]a+c+b=a+c-b \Rightarrow b=0[/tex]

От 1 и 3
[tex]a=c=\pm \frac 1 2[/tex]