НМС на функция

[Гост]

Нека [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са неотрицателни реални числа.
а) Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=(x+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } )^{10}-bcx[/tex], за [tex]x\ge 0[/tex].
б) Да се докаже, че [tex]\sqrt[4]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } }\ge \sqrt[40]{abc}[/tex].

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са неотрицателни реални числа.
а) Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=(x+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } )^{10}-bcx[/tex], за [tex]x\ge 0[/tex].

Да означим [tex]\sqrt[3]{b+\sqrt{c} }=p[/tex].
Намираме производната
[tex]f'(x)=10(x+p)^{9}-bc[/tex]

[tex]f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[9]{\frac{bc}{10}}-p[/tex]
С интервалите на постоянство на знака на [tex]f'(x)[/tex] или с втората производна, установяваме че намереното [tex]x[/tex] е точка на локален минимум.
Пресмятаме този минимум
[tex]f \left ( \sqrt[9]{\frac{bc}{10}}-p \right )=\left ( \sqrt[9]{\frac{bc}{10}} \right )^{10}-bc\left ( \sqrt[9]{\frac{bc}{10}}-p \right )=pbc[/tex]
Този минимум е и абсолютен при дадените условия, значи е най-малката стойност при [tex]\sqrt[9]{\frac{bc}{10}} \ge p[/tex]
т.е. при [tex]bc\ge (b+\sqrt{c})^3[/tex].
Когато [tex]bc< (b+\sqrt{c})^3[/tex], поради това че в [tex][0;+\infty )[/tex] функцията расте, то най-малката стойност е [tex]f(0)=(\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } )^{10}.[/tex]

б) Да се докаже, че [tex]\sqrt[4]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } }\ge \sqrt[40]{abc}[/tex].
Като имаме предвид резултата на подусловие a),
[tex]\forall \,\ x\ge 0\Rightarrow f(x)\ge pbc,[/tex] включително и за [tex]x =a:[/tex]

Следователно
[tex]\left ( a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } \right )^{10}-bca\ge pbc[/tex]
или
[tex]\left ( a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } \right )^{10}-bca\ge (\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } )^{10}[/tex]

И в единия, и в другия случай [tex]\left ( a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c} } \right )^{10}-bca\ge 0[/tex]
Прехвърляме отдясно [tex]abc[/tex] и коренуваме със странния корен четиридесети, и ще получим исканото по-горе.