Правоъгълници

[Гост]

Разглеждаме всички правоъгълници, два от върховете на които лежат на абсцисната ос, а другите два - върху графиката на функцията [tex]y=\frac{4}{ \sqrt{3} }cosx,|x|\le \frac{\pi }{ 2}.[/tex]
а) Измежду разглежданите правоъгълници да се намери този с най-голям периметър.
б) Да се докаже, че измежду разглежданите правоъгълници има точно един с най-голямо лице и това лице е по-голямо от [tex]\frac{\pi }{\sqrt{3} }.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Функцията периметър на правоъгълника
[tex]P(x)=4x+2.\frac{4}{\sqrt{3} }cosx[/tex]
има производна
[tex]P'(x)=4-\frac{8}{\sqrt{3} }sinx,[/tex]
която се анулира в [tex]x_0=\frac{\pi }{3 }[/tex]

Тъй като [tex]P''=-\frac{8}{\sqrt{3} }cosx[/tex]
и
[tex]P''\left (\frac{\pi }{ 3} \right )<0,[/tex]

то [tex]maxP(x)=P\left (\frac{\pi }{ 3} \right )=\frac{4(\pi+\sqrt{3} )}{3 }[/tex]
и този максимум на периметъра е както локален така и абсолютен.