Паралелепипед

[Гост]

Всички стени на паралелепипед са еднакви ромбове с диагонали 8 см и 6 см. Да се намери обемът на паралелепипеда.

[MENKA]

ABCD-ромб
Лице на ромба=(d1xd2)/2=(8*6)/2=24
d1=AC=8
d2=BD=6
Т-к AOD-правоъг. и ъ-л AOD=90 градуса
AO=d1/2=4
DO=d2/2=3
Прилатаме Пит Т за този т-к и получаваме,че AD²=4²+3²=25
AD=5
Лице на т-к ABD=Лице на ромба/2=24/2=12=(ABxDH)/2=(5xDH)/2-където DH е височина в ромба към AB
DH=24/5
Паралелепипедът е наклонен и тъй като всички стени са еднакви ромбове,то фактически височината на ромба е височината и на паралелепипеда
V=(лице на ромбахDH)=(24*24)/5=576/5

[monika_at]

ABCD-ромб

Паралелепипедът е наклонен и тъй като всички стени са еднакви ромбове,то фактически височината на ромба е височината и на паралелепипеда

Отврат!

[MENKA]

Е щом всички стени на паралелепипеда са ромбове,на чертежа излиза наклонен паралелепипед.

[monika_at]

Е щом всички стени на паралелепипеда са ромбове,на чертежа излиза наклонен паралелепипед.

И според теб височината не ромба е височина и на паралелепипеда?

[ptj]

Един от вариантите за пресмятане на височината в паралелипипеда е чрез косинусова теорема за тристенен ъгъл.

[ptj]

Нека паралелипипеда е [tex]ABCDA_1B_1C_1D_1[/tex].
[tex]AC=8[/tex]см
[tex]BD=6[/tex]см

От Питагорова теорема лесно се получава, че всички ръбове са по 5 см.

Нека т.[tex]H[/tex]е проекцията на т.[tex]A_1[/tex]в равнината на основата [tex]ABCD[/tex].

Oчевидно т.[tex]H \in AC[/tex], тогава височината [tex]A_1H=AA_1.sin(\angle A_1AC)[/tex].

[tex]cos(\angle DAC)=\frac{4}{5 }[/tex] (диагоналите на ромба са перпендикулярни и се разполовяват)

[tex]cos(\angle A_1AD)=2\big(\frac{4}{5 }\big)^2-1=\frac{7}{25 }[/tex] (чрез косинус на половинката ъгъл)

Косинусова теорема за тристенен ъгъл:
[tex]cos(\angle A_1AD)=cos(\angle A_1AC).cos(\angle DAC)[/tex]

[tex]cos(\angle A_1AC)=\frac{7}{25 } .\frac{5}{4 }=\frac{7}{20 }[/tex]

[tex]sin(\angle A_1AC)=\sqrt{1-\big(\frac{7}{20 } \big)^2}=\frac{3\sqrt{39} }{20 }[/tex]

[tex]S_{ABCD}=4\frac{3.4}{2 }=24[/tex]кв.см (диагоналите го разделят на 4 еднакви правоъгълни триъгълника)

[tex]V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}.A_1H=24.5.\frac{3\sqrt{39} }{20 }=18\sqrt{39}[/tex] куб.см.

[ptj]

Друг вариант на решение е със средставата на аналитичната геометрия:
1.)Позиционираме върховете :
[tex]A[/tex] в кординати[tex](0;0;0)[/tex],
[tex]B[/tex] в [tex](5;0;0)[/tex],
[tex]D[/tex] в [tex](x;y;0)[/tex], (неотрицателни)
[tex]A_1[/tex] в [tex](m;n;p)[/tex] (неотрицателни).

2.) Използвайки формулата за разстояние между 2 точки съставяме система и намираме [tex]x,y,m,n,p[/tex], знаейки разстоянията между всеки 2 от дадените 4 върха.

3.)Образуваме смесеното произведение на [tex]\vec {AB}[/tex],[tex]\vec {AD}[/tex] и [tex]\vec {AA_1}[/tex] , което е равно на обема на паралелипипеда.

П.П. Може и директно с матрицата на обратно преобразувание на нормираното евклидово 3-мерно пространство в пространството определено от 3-те базови вектора на паралелипеда, но за съжаление не си спомням формулите...

[math10.com]

par.png (49.69 KiB) Прегледано 548 пъти

Така не е ли по-добре?
Разглеждаме тетраедъра [tex]ABDA_1[/tex].Намираме му обема:
[tex]V_{ABDA_1}=\frac{1}{3}.S_{A_1BD}.AH_1=\frac{1}{3}.S_{ABD}.A_1H \Rightarrow A_1H=\frac{S_{A_1BD}.AH_1}{S_{ABD}}[/tex]
По условие имаме [tex]BD=A_1B=A_1D=6[/tex]
С Питагорова теорема намираме [tex]AB=AA_1=AD=5[/tex]
Ортогоналната проекция на [tex]A[/tex] в равнината [tex]A_1BD[/tex] е точка [tex]H_1[/tex] , която е центъра на описаната около [tex]\Delta A_1BD[/tex] окръжност и с Питагорова теорема намираме:
[tex]AH_1=\sqrt{AA_1^2-A_1H_1^2}=\sqrt{5^2-(\frac{2}{3}.\frac{6\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13}[/tex]
[tex]S_{A_1BD}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}[/tex] (Лице на равностранен триъгълник)
Да речем с Херонова формула намираме:[tex]S_{ABD}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8.3.3.2}=12[/tex]
[tex]\Rightarrow A_1H=\frac{S_{A_1BD}.AH_1}{S_{ABD}}=\frac{9\sqrt{3}.\sqrt{13}}{12}=\frac{3\sqrt{39}}{4}[/tex]
[tex]V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}.A_1H=\frac{AC.BD.A_1H}{2}=\frac{8.6.\frac{3\sqrt{39}}{4}}{2}=18\sqrt{39}[/tex]