НМС на функция

[Гост]

Дадена е функцията [tex]f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}.[/tex]
а) Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x).[/tex]
б) Ако [tex]a[/tex] е реален параметър, да се реши уравнението [tex]\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}=-x^2+2(a-1)x-2a^2+4a-3[/tex].

[inveidar]

а) Ще докажем без производни, че [tex]\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1} \ge -1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}+1\ge \sqrt[3]{x^2+1} \Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+1)^3\ge (\sqrt[3]{x^2+1})^3 \Leftrightarrow x^2+3\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1\ge x^2+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2} \ge 0[/tex], което е очевидно. Равенството се достига при [tex]x=0[/tex].
Така най-малката стойност на функцията е -1 и тя се получава при [tex]x=0[/tex].

б) Нека преобразуваме дясната страна на уравнението по следния начин
[tex]-x^2+2(a-1)x-2a^2+4a-3=-x^2+2(a-1)x-2a^2+4a-3+1-1=-x^2+2(a-1)x-2a^2+4a-2+1=[/tex]
[tex]-x^2+2(a-1)x-2(a-1)^2-1=-1-(x-(a-1))^2-(a-1)^2\le -1[/tex], като равенство се достига точно когато
[tex]a=1[/tex] и [tex]x=a-1[/tex]. Това заедно с а) означава, че при [tex]a=1[/tex] решението на уравнението е [tex]x=a-1=0[/tex], а при [tex]a\ne 1[/tex] уравнението няма решение.

[ptj]

Подусловие а.) може да се реши и с разлагането [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]

[tex]-1=\bigg(\sqrt[3]{x^2}\bigg)^3-\bigg(\sqrt[3]{x^2+1}\bigg)^3=\bigg(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}\bigg)\bigg(\big(\sqrt[3]{x^2}\big)^2+\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{x^2+1}+\big(\sqrt[3]{x^2+1}\big)^2\bigg)[/tex]

[tex]\bigg(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}\bigg)=\frac{-1}{ \bigg(\big(\sqrt[3]{x^2}\big)^2+\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{x^2+1}+\big(\sqrt[3]{x^2+1}\big)^2\bigg)}[/tex]

Знаменателя горе е сума от 3 неотрицателни числа, чийто минимуми са съответно 0,0 и 1,
а достигането им е при [tex]x=0[/tex].
Минимума на дроб с фиксиран отрицателен числител и положителен знаменател, се достига при минимума на знаменателя.

Т.е. [tex]\bigg(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}\bigg)\ge -1[/tex] (равенство при [tex]x=0[/tex]).