Да се реши неравенството

[Гост]

Да се реши неравенството:
[tex][x^2-(a+2)x+3a-3]\sqrt{(1-a)x+a^2-7}\ge 0[/tex]

[ptj]

[tex]A=(x^2-(a+2)x+3a-3)\sqrt{(1-a)x+a^2-7}\ge 0[/tex]

[tex]-(x-3)(a-x-1)\sqrt{(1-a)x+a^2-7}\ge 0[/tex]

[tex](x-3)(a-x-1)\sqrt{(1-a)x+a^2-7}\le 0[/tex]

Oчевидно [tex]a\ne1[/tex], защото в противния случай корена няма смисъл.

Деф.мн.:[tex](a\ne1) \cap (x\ge\frac{a^2-7}{a-1 })[/tex]

1.) [tex]A[/tex]се нулира при [tex](x=3)\cup (x=a+1)\cup (x=\frac{a^2-7}{a-1 })[/tex], т.е. имаме 3 различни решения.

2.) [tex](x\ne 3)\cap (x\ne a+1)\cap (x\ne \frac{a^2-7}{a-1 })[/tex]

[tex]\sqrt{(1-a)x+a^2-7}[/tex]е положителен и не влияе на знака на А, тогава

[tex]A> 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-a-1)< 0[/tex]

[tex]a+1>x>3[/tex] или [tex]a+1<x<3[/tex]

Крайния отговор е обединението на 1.) и 2.) .

[inveidar]

Логиката ти в края издиша, защото не си взел предвид, че някои от решенията може да са недопустими стойности, т.е за тях под корена може да се получи отрицателно число. Трябва да изследваш къде се намира стойността, която нулира корена спрямо 3 и а+1.

[Knowledge Greedy]

Наред с невъзможната стойност на параметъра [tex]a[/tex] , [tex]\,\ a\ne 1,[/tex] трябва да внимаваме за знака на множителя пред [tex]x[/tex] в подкоренната величина. За да бъде тя неотрицателна, трябва [tex](a-1)x\le a^2-7[/tex] и разделяйки на [tex](a-1)[/tex] получаваме две възможности. Т.е. свеждаме решението на неравенството до решаване на съвкупност от две системи, в зависимост от параметъра [tex]a[/tex] - третото условие във всяка от системите.
[tex]\left\{\begin{matrix}
\left | \begin{matrix}
(x-3)(x-a+1)\ge 0 \\
x \le \frac{a^2-7}{a-1 } \\
a>1
\end{matrix}\right.\\
\,\ \\
\left | \begin{matrix}
(x-3)(x-a+1)\ge 0 \\
x\ge \frac{a^2-7}{a-1 } \\
a<1
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.[/tex]
Първата система дава следните решения:
При [tex]a\ge 4[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in (-\infty;3][/tex]

При [tex]1<a<4[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in \left (-\infty ;\frac{a^2-7}{a-1 } \right ]\cup [3;+\infty)[/tex]
Продължаваме с решенията в останалите случаи за [tex]a[/tex] - които се получават от втората система:

При [tex]a<-1[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in (-\infty ;a-1]\cup \left [ 3;+\infty \right )[/tex]

При [tex]-1\le a<1[/tex][tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in \left (-\infty ; a-1 \right ]\cup [\frac{a^2-7}{a-1 };+\infty )[/tex]

Технически погледнато - да внимаваме с взаимното разположение на числата, които са краища на интервалите.

[ptj]

Логиката ти в края издиша, защото не си взел предвид, че някои от решенията може да са недопустими стойности, т.е за тях под корена може да се получи отрицателно число. Трябва да изследваш къде се намира стойността, която нулира корена спрямо 3 и а+1.

Съгласен съм. Трябваше да скъся областта от решения с намерените по-рано дефиниционни ограничения.
Има и техническа грешка - след разлагането в разглежданията съм заменил [tex](a-1)[/tex] с [tex](a+1)[/tex].

[Гост]

Наред с невъзможната стойност на параметъра [tex]a[/tex] , [tex]\,\ a\ne 1,[/tex] трябва да внимаваме за знака на множителя пред [tex]x[/tex] в подкоренната величина. За да бъде тя неотрицателна, трябва [tex](a-1)x\le a^2-7[/tex] и разделяйки на [tex](a-1)[/tex] получаваме две възможности. Т.е. свеждаме решението на неравенството до решаване на съвкупност от две системи, в зависимост от параметъра [tex]a[/tex] - третото условие във всяка от системите.
[tex]\left\{\begin{matrix}
\left | \begin{matrix}
(x-3)(x-a+1)\ge 0 \\
x \le \frac{a^2-7}{a-1 } \\
a>1
\end{matrix}\right.\\
\,\ \\
\left | \begin{matrix}
(x-3)(x-a+1)\ge 0 \\
x\ge \frac{a^2-7}{a-1 } \\
a<1
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.[/tex]
Първата система дава следните решения:
При [tex]a\ge 4[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in (-\infty;3][/tex]

При [tex]1<a<4[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in \left (-\infty ;\frac{a^2-7}{a-1 } \right ]\cup [3;+\infty)[/tex]
Продължаваме с решенията в останалите случаи за [tex]a[/tex] - които се получават от втората система:

При [tex]a<-1[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in (-\infty ;a-1]\cup \left [ 3;+\infty \right )[/tex]

При [tex]-1\le a<1[/tex][tex]\,\ \Rightarrow \,\ x\in \left (-\infty ; a-1 \right ]\cup [\frac{a^2-7}{a-1 };+\infty )[/tex]

Технически погледнато - да внимаваме с взаимното разположение на числата, които са краища на интервалите.

При [tex]a\ge 4[/tex] дали и [tex][a-1;\frac{a^2-7}{a-1 } ][/tex] не е решение. При [tex]a\in (1;4][/tex] трябва ли да включваме и [tex][3;+\infty )[/tex]. При [tex]-1\le a<1[/tex] трябва ли да включваме и [tex](-\infty ;a-1][/tex]. При [tex]a\le -1[/tex] не е ли решение само [tex]x\in [3;+\infty )\cup \left { \frac{a^2-7}{a-1 } \right }[/tex]

[Knowledge Greedy]

Имам копие на първоначалното ми решение - да, бях разменил посоката на едно неравенство и при корекцията навярно не съм поставил всичко на мястото му.
Ако влезете с регистрацията си, ще ви пратя решението и отговора.