Изпитна задача.

[Гост]

Група от n деца си разделили кутия с бонбони. Първото дете взело 1 бонбон
и още една десета от останалите в кутията бонбони. След него второто дете взело 2
бонбона и още една десета от останалите след това бонбони в кутията, и т.н.,
предпоследното дете взело n−1 бонбона и още една десета от останалите след това
бонбони в кутията. За последното дете в кутията останали n бонбона. Намерете броя n
на децата, ако е известно, че първите две деца са взели по равен брой бонбони.

[pal702004]

9 деца са си разделили 81 бонбона...по равно.

[ptj]

Нека бонбоните са били [tex]x[/tex].

Първото детe е взело [tex]1+\frac{x-1}{10 }=\frac{x+9}{10 }[/tex].

Второто : [tex]2+\frac{1}{10 }(x-2- \frac{x+9}{10 })=\frac{1}{10 }(x+18- \frac{x+9}{10 })=\frac{9x+171}{100 }[/tex]

[tex]\frac{9x+171}{100 }=\frac{x+9}{10 }[/tex]

[tex]\frac{10x-9x}{100 }=\frac{171-90}{100 }[/tex]

[tex]x=81[/tex]

Единия вариант е да се смятат нататък бонбоните за всяко дете, другия да се докаже, че всяко от тях ще взима точно по 9 бонбона.

Ще обясня 2-рия начин:

(1) Хипотеза: Пред [tex]n[/tex]-тото дете в кутията има [tex]9(10-n)[/tex] бонбона. (n=1,2,...,9)
Горното очевидно е вярно за [tex]n=1,2[/tex].

(2) Нека (1) е вярно за [tex]n=1,2,...,k[/tex].

(3) Пред [tex](k)[/tex]-тото дете съгласно (1) ще има [tex]9(10-k)[/tex] бонбона. ([tex]2\le k\le8)[/tex]
То взима [tex]k+\frac{1}{10 }\big(9(10-k)-k\big)=k+\frac{1}{10 }(90-10k)=9[/tex].
Пред [tex](k+1)[/tex]-вото в кутията ще има [tex]9(10-k)-9=9\big(10-(k+1)\big)[/tex],
т.е доказaхме хипотезата от (1) за [tex](k+1)[/tex].

От (1),(2) и (3) съгласно принципа на пълната математическа индукция следва, че хипотезата ни е вярна за всяко n=1,2,...,9.

Като следствие в (3) вече показахме, че всяко дете взима точно по 9 бонбона.

В задачата се търси кога [tex]9(10-n)=n[/tex]. Отговорът е [tex]n=9[/tex].

[inveidar]

Нека децата са взели съответно [tex]a_1, a_2,..., a_n[/tex] бонбона. От условието на задачата получаваме
[tex]a_k=k+\frac{1}{10 }(a_k+a_{k+1}+...+a_n -k)[/tex]. По тази формула следва и [tex]a_n=n+\frac{1}{10 }(a_n -n)[/tex], т.е [tex]a_n=n[/tex].
Тогава [tex]a_{k+1}-a_k=k+1+\frac{1}{10 }(a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_n -(k+1))-k-\frac{1}{10 }(a_k+a_{k+1}+...+a_n -k)=[/tex]
[tex]=\frac{9}{10 }-\frac{1}{10 }a_k[/tex], откъдето получаваме зависимостта [tex]10a_{k+1}=9a_k+9[/tex].
Сега вече е ясно, че от [tex]a_1=a_2[/tex], замествайки в получената зависимост намираме [tex]a_1=a_2=9[/tex], а също така че всеки следващ член от редицата също е 9, което пък означава, че [tex]n=9[/tex].

[inveidar]

Как мислите, какво ще се промени, ако в условието е казано, че първото взима два бонбона и една десета от останалите, второто - 4 и една десета от останалите и т.н, а последното - 2n бонбона? Колко са децата?
А колко са децата, ако първото взима един бонбон и една двадесета от останалите, второто - два и една двадесета от останалите и т.н, а последното - n бонбона?