Пирамида

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 4 и височина 2. Да
се намери мярката на ъгъла между две съседни околни стени.

[math10.com]

piramida.png (84.16 KiB) Прегледано 608 пъти

[Knowledge Greedy]

Да означим равнинните ъгли [tex]\angle ABE=\alpha ;\,\ \angle CBE=\beta[/tex] и [tex]\ \angle ABC = \gamma[/tex]
Също така двустенният ъгъл [tex]\angle ((ABE);\,\ (CBE))=\varphi[/tex]
(- негов представител на чертежа на math10.com е равнинният ъгъл [tex]\angle AFC[/tex])
Съответният равнинен ъгъл на двустенния ъгъл [tex]\varphi[/tex] е равнинният ъгъл [tex]\gamma = 90^\circ[/tex].
Според първата косинусова теорема за тристенен ъгъл

[tex]cos \gamma = cos \alpha . cos \beta+sin\alpha . sin\beta . cos\varphi[/tex]

От условието намираме [tex]cos \beta =\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]
и тогава [tex]\Rightarrow \,\ sin\beta = \frac{\sqrt{6} }{3 }[/tex]

Тъй като пирамидата е правилна, то [tex]\alpha =\beta[/tex] и тогава стойностите на [tex]sin\alpha[/tex] и [tex]sin\beta[/tex] са съответно същите.

Заместваме в косинусовата теорема
[tex]cos 90^\circ = \left ( \frac{\sqrt{3} }{3 } \right )^2+ \left ( \frac{\sqrt{6} }{3 } \right )^2 cos\varphi[/tex]
и получаваме
[tex]cos\varphi =-\frac{1}{ 2}[/tex]
Това означава, че [tex]\varphi =120^\circ[/tex].

[Knowledge Greedy]

Ако не използваме "нафуканата" косинусова теорема за тристенен ъгъл на многознайковците, а просто косинусова теорема за [tex]\Delta ACF[/tex] - виж отново чертежа на math10.com

[tex]AC^2=AF^2+CF^2-2AC.CFcos\varphi[/tex] [tex]\,\(\ast)[/tex]

където [tex]AC=4\sqrt{2}[/tex] - по Питагорова теорема;

[tex]AF=CF=\frac{2S_{\Delta BCE}}{BE }=\frac{4k}{BE }= \frac{4.2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} }=\frac{4\sqrt{6}}{3}[/tex] - получават се след изразяване на лицето на повърхнината на околна стена по два начина ( [tex]k[/tex] е апотемата - височината на околната стена [tex]\Delta BCE[/tex] - получена също с теоремата на Питагор.)

След заместване в [tex](\ast)[/tex] , получаваме [tex]cos \varphi =-\frac{1}{2 } \,\ \Rightarrow \,\ \varphi =120^\circ[/tex]

===============================
Струва ми се, че проблем в решението на math10.com е техническа грешка на втория ред [tex]BE=\frac{\sqrt{4h^2+2a^2} }{2 }[/tex]

[math10.com]

Благодаря за поправката.
Това е породено от идеята да напиша решението буквено и от разсеяност и невнимание разбира се.