Триъгълник

[Гост]

Най-малката и най-голямата страни в триъгълника АВС са ВС=4 АВ=9. Намерете АС ако е дадена че АВС е подобен на триъгълник с дължини на страните равни на височините на АВС

[ptj]

[tex]a<b<c[/tex]

[tex]2S=a.h_a=b.h_b=c.h_c[/tex]

[tex]a:b:c=h_c:h_b:ha[/tex] (по условие, заради лицето и подредбата)

[tex]a:c=h_c:h_a[/tex] (от формулите за лице)

[tex]a:c:b=h_c:ha:h_b[/tex]

От последните 2 равенства : [tex]h_c:h_a:b=h_c:h_a:h_b[/tex] , т.е. [tex]b=h_b[/tex]

Само че, прилежаща страна е винаги по-голяма или равна на височината, т.е. [tex]a\ge h_b=b[/tex]

Така зададена задачата е некоректна.

[Zarrie]

Защо е некоректна? Аз не разбирам... ако петата на височината е външна точка за триъгълника? (Тази на [tex]h_{b}[/tex])

[ptj]

Направи си чертеж и я примери с линийка...

[Knowledge Greedy]

От подобието следва пропорцията
[tex]\frac{h_a}{a } =\frac{h_b}{ b} =\frac{h_c}{c} =k[/tex]

Оттук [tex]h_a=ka=9k[/tex] [tex], \,\ h_c=kc=4k[/tex] и [tex]h_b=kb,[/tex]

а от формулата за лицето [tex]S=\frac{36k}{2} .[/tex]

От друга страна [tex]S=\frac{bh_b}{2 } =\frac{b^2k}{ 2}[/tex]

Следователно [tex]\frac{b^2k}{ 2}=\frac{36k}{2} \,\ \Rightarrow b=6[/tex]

[ptj]

От подобието следва пропорцията
[tex]\frac{h_a}{a } =\frac{h_b}{ b} =\frac{h_c}{c} =k[/tex]

Оттук [tex]h_a=ka=9k[/tex] [tex], \,\ h_c=kc=4k[/tex] и [tex]h_b=kb,[/tex]

а от формулата за лицето [tex]S=\frac{36k}{2} .[/tex]

От друга страна [tex]S=\frac{bh_b}{2 } =\frac{b^2k}{ 2}[/tex]

Следователно [tex]\frac{b^2k}{ 2}=\frac{36k}{2} \,\ \Rightarrow b=6[/tex]

Извинявам се, но от първия ред следва, че срещу по-голяма страна лежи по-голяма височина, което е очевидно невярно (спрямо формулата за лице).

[pal702004]

Извинявам се, но от първия ред следва, че срещу по-голяма страна лежи по-голяма височина, което е очевидно невярно (спрямо формулата за лице).

Така е, но грешката е поправима. Всъщност

[tex]h_a=c\cdot k=9k[/tex]
[tex]h_b=b\cdot k[/tex]
[tex]h_c=a\cdot k=4k[/tex]

От равенството [tex]a\cdot h_a=b\cdot h_b[/tex] получаваме [tex]4\cdot (9k)=b\cdot (bk)[/tex], или [tex]b=6[/tex]

[ptj]

Сега вече съм съгласен.