Триъгълник АВС

[Гост]

в АВС са известни АВ = 5, АС = 4 и ъгъл ВАС = 60 градуса. Да се намери разстоянието от ортоцентъра на триъгълника до страната АВ

[Knowledge Greedy]

С косинусова теорема намираме, че третата страна на триъгълника [tex]BC=\sqrt{21}[/tex]

Да означим с [tex]D[/tex] и [tex]N[/tex] петите на височините през [tex]C[/tex] и [tex]A[/tex] - съответно.
Нека още точка [tex]H[/tex] да е ортоцентърът на дадения триъгълник. Също така [tex]\angle ABC=\beta[/tex] - стандартно.
[tex]\bigtriangleup AHD\sim \bigtriangleup CBD[/tex]

Откриваме [tex]AD=2 , \,\ CD=2\sqrt{3}, \,\ sin\beta=\frac{CD}{BC}= \frac{2\sqrt{3}}{ \sqrt{21}}[/tex] и
от [tex]BD=3 \,\ \Rightarrow cos\beta=\frac{3}{\sqrt{21}}[/tex]

Оттук [tex]cotg\beta =\frac{\sqrt{3}}{2 }[/tex]

Но в [tex]\bigtriangleup AHD[/tex] - правоъгълен, [tex]\frac{HD}{AD } =cotg\beta[/tex]

Така търсеното [tex]HD=\sqrt{3}[/tex].
=================================
Сред (и след) голямото писане човек има усещането, че всичко е могло да стане по-кратко.
Дали?

[Гост]

По кой признак AHD е подобен на CDB

[Knowledge Greedy]

И двата са правоъгълни, и двата имат ъгъл [tex]90^\circ -\beta[/tex].
[tex]\angle HAD=90-\beta =\angle BDC[/tex]

[KOPMOPAH]

Триъгълниците са подобни, защото два от ъглите им са равни - правия и β