Квадратна функция

[Гост]

1. Ако квадратната функция f(x) има най-малка стойност 0 при x=1 и f(-1)=8, то стойността и в точка x=-2 e равна на?
Как се разсъждава тук?
2. Най-голямата стойност на параметъра m, за която функцията [tex]f(x)=3x^2+(2m^2-5m+2)x-4[/tex] e четна, е равна на?
Тук спрямо даденият отговор коефициентът пред x трябва да е нула и после да се излиза, че по-големият корен на квадратното уравнение е решението на задачата, предролагам защото се търси най-голамата стойност на m, а другия корен е 1/2. Но не разбирам как се определят условията за четност на функцията.

[Zarrie]

[tex]f(x) = ax^2 +bx +c[/tex]
[tex]f(1)=0 \Rightarrow a+b+c=0 (1)[/tex]
[tex]f(-1)=8 \Rightarrow a-b+c=8 (1)[/tex]
В точката 1 функцията има най-малка стойност, тоест има абсолютен минимум, но тъй като е квадратна, то той е и локален [tex]\Rightarrow f'(x)=0 \Rightarrow 2a+b=0(3)[/tex]
Имаме система от 3 уравнения, чиито неизвестни са коефициентите на търсеното от нас уравнение.
(Вместо първата производна може да се използва факта, че след като в точката х=1 функцията има НМС, която е равна на 0, то следва, че това е единствената допирна точка на графиката на функцията с абсцисата, т.е. дискриминантата на уравнението е 0)
[tex]2a+b=0 \Rightarrow b=-2a[/tex]
[tex]a+b+c=0[/tex]
[tex]a+c-b=8\Rightarrow b=a+c-b[/tex]
[tex]a+c-8=-2a \Rightarrow 3a+c=8[/tex]
[tex]c=8-3a[/tex]
[tex]b=-2a[/tex]
Заместваме а и b във уравнението [tex]a+b+c=0[/tex] и получаваме
[tex]a-2a-3a+9=0 \Rightarrow a=2, b=-4,c=2[/tex]
f(-2) = 18

[Zarrie]

Една функция е четна, когато е изпълнено условието [tex]f(x) =f(-x)[/tex]
Тоест от графична гледна точка графиката трябва да е симетрична относно ординатата, защото условието е за противоположни стойности на аргумента да се получават едни и също функ. стойности.
Тъй като функцията, която имаме е квадратна, тя ще бъде симетрична и четна, тогава и само тогава, когато върхът и е в точката х=0
[tex]f(x)=f(-x) \Leftrightarrow D=0,\frac{-b}{2a}[/tex]
Това, че коефициента пред х е равен на нула следва от второто равенство, тъй като една дроб е равна на нула, само когато числителят и е равен на 0.
Решаваме уравнението
[tex]\frac{-b}{2a}=0[/tex]
[tex]\frac{-2m^2+5m+2}{6}=0 \Rightarrow 2m^2-5m+2=0[/tex]
[tex]m_{1} =2,m_{2}=\frac{1}{2}[/tex]
Отговорът е m=2

[Гост]

задача: Функцията f(x) е растяща в интервала [3;10]. Ако f(4)=9, напишете възможна стойност на f(8)

[ammornil]

Ако функцията е растяща в интервала, то с нарастване на [tex]x[/tex] нараства и стойността на функцията [tex]f(x)[/tex].
Понеже [tex]\begin{cases} f(x)\ -растяща \ \forall x \in [3;10]\\ 8>4 \\ 4 \in [3;10] \\ 8 \in [3;10] \end{cases}[/tex]следва че [tex]f(8)>f(4)[/tex].

Тогава една възможна стойност e [tex]f(8)=12[/tex], защото така е изпълнено условието за растяща функция [tex]f(8)>f(4)[/tex].

Забележете, че и двете стойност за [tex]x[/tex] лежат в дадения интервал. Ако въпросът беше зададен, например, за [tex]f(2)[/tex] или [tex]f(12)[/tex] , нямаше да можем да отговорим, защото не знаем нищо за поведението на функцията извън интервала [tex]x \in [3;10][/tex].