НМС на тригонометричен израз

[Гост]

Най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=cos^2x-sinx+1[/tex] в затворения интервал [tex][0;\frac{\pi }{2 }][/tex] e равна на?

[Zarrie]

Намираме първата производна на израза
[tex]f'(x)=-2cos(x)sin(x)-cos(x)[/tex]
Намираме критичните точки
[tex]cos(x)[2sin(x)+1]=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}[/tex]
Намираме втората производна за да определим критичната точка минимум или максимум е.
[tex]f''(x)=sin(x)[2sin(x)+1)-cos(x)[2cos(x)][/tex]
[tex]f''(\frac{\pi}{2}) = 3 \Rightarrow[/tex]в точката [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] имаме локален минимум, от което следва, че функцията в интервала от 0 до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] намалява и в точката [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] тя приема най-малката си стойност.

[ptj]

Може да реши елементарно и без производни:

[tex]f(x)=cos^2-sinx+1=(1-sin^2x)-sinx+1=-sin^2x-sinx+2[/tex]

Функцията [tex]sin(x)[/tex] e непрекъсната и монотонно растяща в интервала [tex][0;\frac{\pi }{2 }][/tex] и то с неотрицателни стойности, сл. [tex]sin^2x[/tex] също е непрекъсната и монотонно растяща в [tex][0;\frac{\pi }{2 }][/tex].

Използвайки горното е очевидно, че [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната и монотонно намаляща в [tex][0;\frac{\pi }{2 }][/tex],
а нейните локален максимум и минимум са съответно [tex]f(0)=2[/tex] и [tex]f(\frac{\pi }{2 } )=0[/tex].

[Knowledge Greedy]

Най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=cos^2x-sinx+1[/tex] в затворения интервал [tex][0;\frac{\pi }{2 }][/tex] e равна на?

Още две решения / Зари, писал съм ти плюс!

Решението ptj , но с полагане и изследване на квадратна функция. Означаваме [tex]sinx=t[/tex]. Тогава дефиниционното множество е [tex]t\in [0; \,\ 1][/tex] при [tex]x\in \left [ 0; \,\ \frac{\pi }{2 } \right ][/tex] , а стойностите на квадратната функция [tex]f(x)=F(t)=-t^2-t+2[/tex] са в интервала [tex][0; 2][/tex] , и като имаме предвид, че върхът на параболата e извън дефиниционния интервал, а там тя е намаляваща - веднага правим съответните изводи.

От друга /3-та/ страна, ако се вгледаме в събираемото [tex]cos^2x[/tex] - намаляваща, [tex]-sinx[/tex] също е намаляваща функция в общото им дефиниционно множество (добавката на ptj за непрекъснатостта им е изключително важна - без нея не може! ) и резултатът за [tex]f(x)[/tex] е налице - минимална стойност на [tex]f(x)[/tex] при [tex]x=\frac{\pi }{2 }[/tex] и максимална стойност на [tex]f(x)[/tex] се достига при [tex]x=0[/tex].