Триъгълник АВС

[Гост]

Дадене АВС с лице 4√10. Разстоянията от върховете А и В до ъглополовящата на ъгъл АСВ са съответно 1 и 3. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

[Гост]

Нямам идея как да я реша

[Knowledge Greedy]

Нека ъглополовящата е [tex]CL[/tex]. Лицето е [tex]S_{\Delta ALC}+ S_{\Delta BLC}=\frac{1}{2}CL(1+3)[/tex]
Следователно [tex]CL=2\sqrt{10}[/tex]

Освен това [tex]\frac{1}{BC }=sin{\frac{\gamma }{2 }} =\frac{3}{AC }[/tex] и тогава [tex]AC=3BC[/tex].

Можем да приложим формулата за дължина на ъглополовяща [tex]l_c=\frac{2ab}{a+b}cos {\frac{\gamma } {2}}[/tex]
Нека ъглополовящата е [tex]CL[/tex]. Лицето е [tex]S_{\Delta ALC}+ S_{\Delta BLC}=\frac{1}{2}CL(1+3)[/tex]
Следователно [tex]CL=2\sqrt{10}[/tex]

Така, ако приемем стандартните означения на страните и ъглите в триъгълника [tex]BC=a, \ , \ AC=b=3a, \angle ACB=\gamma[/tex]

[tex]2\sqrt{10}=\frac{2a.3a}{a+3a}cos{\frac{\gamma }{2}}[/tex]

[tex]cos{\frac{\gamma }{2}}=\frac{4\sqrt{10} }{3a}[/tex]

Но по-горе имахме [tex]sin{\frac{\gamma }{2 }} =\frac{1}{a }[/tex]
и от основното тъждество на кръговите функции
[tex]sin^2\frac{\gamma }{2 } +cos^2{\frac{\gamma }{2}}=1[/tex]

определяме [tex]a=\frac{13}{3}[/tex],[tex]\,\ b=\frac{42}{3}[/tex] и [tex]c=...[/tex] (например с косинусова теорема)