Екстремум на функция

[Гост]

Намерете при каква стойност на Р функцията y=psinx+1/3sinx има локален екстремум в точка x=∏/3

[ptj]

За да има локален екстремум трябва първaта производна на функцията да се нулира, а втората (производна) съответно да е различна от нула.

Намери ги. Замести [tex]x[/tex] с [tex]\frac{\pi }{3 }[/tex] и от там ще намериш стойността на [tex]p[/tex].

[Knowledge Greedy]

При [tex]p>0[/tex] и аргумент [tex]x[/tex] в интервал, такъв, че [tex]\forall x, \,\ sinx>0 \Rightarrow[/tex] - по неравенството СА-СГ се получава [tex]\frac{psinx+\frac{1}{3sinx} }{ 2}\ge \sqrt{psinx.\frac{1}{3 \cancel {sinx} } } =\sqrt{\frac{p}{3 } }[/tex]
Равенството се достига само при онова [tex]x=x_0[/tex], за което [tex]psinx_0=\frac{1}{3sinx_0}[/tex]
То е равносилно, съгласно условието, на [tex]p=\frac{1}{3sin^2x_0} = \frac{1}{3sin^2\left ( \frac{\pi }{3} \right ) }=\frac{4}{ 9}[/tex]
_ _ _ _ _ _ _
Горните разсъждения са направени, при предположението, че [tex]p>0[/tex] и функцията [tex]y=psinx+\frac{1}{3sinx }[/tex] достига своя [tex]y_{min}=y\left ( \frac{\pi }{3 } \right )[/tex] с положителни стойности.
Тези съображения не могат да се използват при [tex]p<0[/tex], защото тогава второто събираемо [tex]\frac{1}{3sinx }[/tex] е положително в поне една околност на точката [tex]\frac{\pi }{3 }[/tex]. На чертежа са изобразени графиките на функции от дадения вид, при [tex]p>0[/tex] и в частност тази, която има екстремум-минимум при [tex]x_0=\frac{\pi }{3}[/tex]

Поведение в близост до една трета Пи.PNG (9.35 KiB) Прегледано 338 пъти

При [tex]p\le 0[/tex] може да се покаже, че в близост до [tex]x_0=\frac{\pi }{3}[/tex] има както по-големи от [tex]f(x_0)[/tex], така и по-малки от [tex]f(x_0)[/tex] стойности на функцията.