Повърхнина на сфера

[Гост]

Около сфера е описан прав паралелепипед с диагонали [tex]2\sqrt{2}[/tex] cm. и [tex]\sqrt{5}[/tex] cm. Намерете повърхнината на сферата.

[ptj]

Тъй като всички околни стени са перпендукулярни на основите, то ортогоналната проекция на центъра на сферата в равнина определена от някоя от основите, ще е точно центъра на вписаната окръжност. Съответно образите на допирните точки на сферата с околните стени ще са допирни точки на вписаната окръжност и страните на основата (основните ръбове) .
Нека дължините на диагоналите в основите са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex],
а дължината на радуса на сферата ( окръжността) е [tex]r[/tex] .

Ако в един успоредник може да се впише окръжност, то той е ромб.

Основния ръб ще е: [tex]\frac{\sqrt{a^2+b^2} }{2 }[/tex].

Използвайки лицето на някой от правоъгълните триъгълници в основата: [tex]\frac{a}{2 }.\frac{b}{2 }= r\frac{\sqrt{a^2+b^2} }{2 }[/tex] .

[tex]r=\frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2} }[/tex]


Двата диагонала ще са съответно с дължини [tex]2=\sqrt{a^2 +(2r)^2}[/tex] и [tex]5=\sqrt{b^2+(2r)^2}[/tex] .

[tex]4=a^2 +\frac{a^2b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex] и [tex]25=b^2 +\frac{a^2b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

...

[tex]r\approx 0.8790[/tex]
[tex]S=4\pi r^2 \approx9.71[/tex]

П.П. Да не би под "диагонали" да се има в предвид диагоналите в основата?