конус и сфера

[Гост]

В конус с радиус R е вписана сфера, която разделя височина му в отношение 1 : 2, считано от върха. Намерете повърхнината на сферата.

[math10.com]

zad4.png (27.08 KiB) Прегледано 195 пъти

Нека разгледаме осното сечение [tex]\triangle ABC[/tex].Той е равностранен триъгълник
Нека [tex]O[/tex] е център на вписаната в конуса сфера.Тъй като осното сечение е равнобедрен триъгълник то [tex]O[/tex] лежи на отсечката [tex]CH[/tex] , която се явява височина ,ъглополовяща и медиана.По условие [tex]CP:PH=1:2 \Rightarrow CP=OP=OH \Rightarrow CO:OH=2:1 \Rightarrow O[/tex] е медицентър в [tex]\triangle ABC[/tex].Но [tex]O[/tex] е и център на вписаната окръжност за [tex]\triangle ABC \Rightarrow[/tex] осното сечение е равностранен триъгълник.
Нека [tex]OH=r[/tex] е радиуса на вписаната сфера.[tex]\Rightarrow r=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}\sqrt{l^2-R^2}=\frac{1}{3}R\sqrt{3}[/tex]

[tex]S=4\pi r^2=4\pi \frac{1}{9}.3R^2=\frac{4}{3}\pi R^2[/tex]