Трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] диагоналът [tex]BD[/tex] e перпендикулярен на бедрото [tex]AD[/tex], голямата основа [tex]AB[/tex] има дължина [tex]a[/tex] и [tex]CD=2BC[/tex]. Да се намери дължината на основата [tex]CD[/tex].

[Гост]

Означаваме бедрото с [tex]x[/tex]. От [tex]\triangle ABC[/tex] намираме [tex]\cos \alpha = \frac{x}{a}[/tex] и [tex]BD = \sqrt{a^2-x^2}[/tex].

От [tex]\triangle BCD[/tex] по косинусова теорема получаваме, че [tex]BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos (\pi - \alpha)[/tex], т. е.

[tex]a^2-x^2 = x^2 + 4x^2 + 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \frac{x}{a} \Rightarrow a^2 = 6x^2 + \frac{4x^3}{a} \Rightarrow 4x^3+6ax^2-a^3=0[/tex].

Това уравнение се разлага до [tex](a+2x)(2x^2+2ax-a^2)=0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}-1}{2}a[/tex].