Параметър а

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]a[/tex] , за които неравенството [tex]ax^2-4x+3a+1>0[/tex] е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex].

[Zarrie]

.

[ptj]

При [tex]a=0[/tex] получаваме [tex]-4x+1>0[/tex], което очевидно не е изпълнено [tex]\forall x\in R[/tex].

Нека [tex]a\ne 0[/tex].

Исканото в условието на задачата означава графиката на квадратната функция да е изцяло над оста [tex]Ox[/tex].
Tова е изпълнено само когато дискриминатата е отрицателна, а коефициета пред старшия член ([tex]x^2[/tex]) е положителен.
[tex]a>0[/tex]

[tex]\frac{D}{4 } =4-a(3a-1)<0[/tex]
[tex]3a^2-a-4>0[/tex]
[tex](a-\frac{1+7}{6 })(a-\frac{1-7}{6 })>0[/tex]
[tex](a-\frac{4}{3 })(a+1)>0[/tex]

Решението е :[tex]a>\frac{4}{3 }[/tex].

П.П. Случая [tex]a<-1[/tex] води до:
[tex]ax^2-4x+3a+1<0[/tex]

[Гост]

Отговорът, който е посочен е [tex]a\in (1;+\infty )[/tex].

[ptj]

Грешно съм преписал условието. Сега ще коригирам отговора.

При [tex]a=0[/tex] получаваме [tex]-4x+1>0[/tex], което очевидно не е изпълнено [tex]\forall x\in R[/tex].

Нека [tex]a\ne 0[/tex].

Исканото в условието на задачата означава графиката на квадратната функция да е изцяло над оста [tex]Ox[/tex].
Tова е изпълнено само когато дискриминатата е отрицателна, а коефициета пред старшия член ([tex]x^2[/tex]) е положителен.
[tex]a>0[/tex]

[tex]\frac{D}{4 } =4-a(3a+1)<0[/tex]
[tex]3a^2+a-4>0[/tex]
[tex](a-\frac{-1+7}{6 })(a-\frac{-1-7}{6 })>0[/tex]
[tex](a-1)(a+\frac{4}{3 })>0[/tex]

Решението е :[tex]a>1[/tex].

П.П. Случая [tex]a<-\frac{4}{3 }[/tex] води до:
[tex]ax^2-4x+3a+1<0[/tex]