Пирамида - да се намери радиусът на описаната сфера

[Гост]

Основата на пирамида е квадрат със страна a. Две околни стени на пирамидата са перпендикулярни на основата, а другите две околни стени сключват с основата равни ъгли с големина 30°. Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.

[ptj]

Не нужен чертеж.
пирамида [tex]ABCDS[/tex]
Нека 3-те равнини при върха [tex]A[/tex] са перпендикулярни помежду си.
1.) Пирамидата е симетрична спрямо равнината на върха [tex]S[/tex] и [tex]AD[/tex] (диагонал в основата) , т.е. центъра на описаната сфера лежи в нея.
2.) Щом основата е квадрат, то центъра на описаната сфера лежи на перпендикуляр, минаващ през пресечената точка на диагоналите на основата.
3.) От 1.) и 2.) [tex]\Rightarrow[/tex] центъра на описана сфера е средата на [tex]SD[/tex]
( използвайте средна отсечка в правоъгълния [tex]\Delta SAD[/tex])
4.) [tex]\angle {VBA}=\angle {VCA}=\frac{\pi }{6 }[/tex]

[tex]VA=\frac{a}{\sqrt{3} }[/tex]
[tex]AD=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]r=\frac{VD}{2 }=\frac{a\sqrt{\frac{1}{3 }+2 } }{2 }=\frac{a\sqrt{21} }{6 }[/tex]

[Гост]

Не нужен чертеж.
пирамида [tex]ABCDS[/tex]
Нека 3-те равнини при върха [tex]A[/tex] са перпендикулярни помежду си.
1.) Пирамидата е симетрична спрямо равнината на върха [tex]S[/tex] и [tex]AD[/tex] (диагонал в основата) , т.е. центъра на описаната сфера лежи в нея.
2.) Щом основата е квадрат, то центъра на описаната сфера лежи на перпендикуляр, минаващ през пресечената точка на диагоналите на основата.
3.) От 1.) и 2.) [tex]\Rightarrow[/tex] центъра на описана сфера е средата на [tex]SD[/tex]
( използвайте средна отсечка в правоъгълния [tex]\Delta SAD[/tex])
4.) [tex]\angle {VBA}=\angle {VCA}=\frac{\pi }{6 }[/tex]

[tex]VA=\frac{a}{\sqrt{3} }[/tex]
[tex]AD=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]r=\frac{VD}{2 }=\frac{a\sqrt{\frac{1}{3 }+2 } }{2 }=\frac{a\sqrt{21} }{6 }[/tex]

От къде идва т. V и какво точно се означава с нея

[KOPMOPAH]

Пирамида ABCDS.png (12.57 KiB) Прегледано 403 пъти

За да се минимизира неопределеността, все пак един чертеж.
Колегата ptj използва т. $S$, наричайки я от един момент нататък т. $V$. Също така, диагоналът е $AC$, а не $AD$, което не се отразява на правилността на разсъжденията му. На чертежа т. $E$ е търсеният център, $AE$ е медиана в правоъгълния $\triangle ACS$, следователно $AE=SE=CE$.