Триъгълник АВС

[Гост]

В триъгълник АВС със страна АВ = √10 точката О център на вписаната окръжност . Да се намери лицето на АВС ако АО = 2 и ВО =√2

[MENKA]

OH=r -т. H лежи на АВ
AH=x>0
BH=√10-x>0
Т-ци AHO и ВНО-правоъг.
По Пит Т за двата т-ка имаме
r²=AO²-x²
r²=BO²-(√10-x)²
Тъй като левите страни са равни на тези тъждества,то и десните им страни са равни.Приравнете ги и намирате AH и BH,след това и r.
Тъй като страните на т-к АВС са допирателни на окръжността,то ако OH=OM=ON=r,където т. М лежи на АС,а т. N на ВС,то тогава AH=AM ,BH=BN ,CM=CN.
По косинусовата Т за т-к ABO намирате косинуса ,а след това и синуса на ъ-л AOB.
От т-к АMО намирате синус и косинус на ъ-ли ОАМ и АОМ.
Аналогично намираме синус и косинус на ъгли OBN и BON
Тогава синус ъ-л МОN=синус {360 гр -(AOB+AOM+BON)}=-синус(AOB+AOM+BON)
Ъ-л MOC=MON/2
Т-к MOC-правоъг.,от който сме намерили този ъгъл и OM=r
CM/OM=tgMOC

Лицето на т-к ABC=p*r,където р е полупериметър

[monika_at]

OH=r -т. H лежи на АВ
AH=x>0
BH=√10-x>0
Т-ци AHO и ВНО-правоъг.
По Пит Т за двата т-ка имаме
r²=AO²-x²
r²=BO²-(√10-x)²
Тъй като левите страни са равни на тези тъждества,то и десните им страни са равни.Приравнете ги и намирате AH и BH,след това и r.
Тъй като страните на т-к АВС са допирателни на окръжността,то ако OH=OM=ON=r,където т. М лежи на АС,а т. N на ВС,то тогава AH=AM ,BH=BN ,CM=CN.
По косинусовата Т за т-к ABO намирате косинуса ,а след това и синуса на ъ-л AOB.
От т-к АMО намирате синус и косинус на ъ-ли ОАМ и АОМ.
Аналогично намираме синус и косинус на ъгли OBN и BON
Тогава синус ъ-л МОN=синус {360 гр -(AOB+AOM+BON)}=-синус(AOB+AOM+BON)
Ъ-л MOC=MON/2
Т-к MOC-правоъг.,от който сме намерили този ъгъл и OM=r
CM/OM=tgMOC

Лицето на т-к ABC=p*r,където р е полупериметър

Олеле.... Каква дива тригонометрия.
От кос т-ма за [tex]\Delta AOB=>cos\angle AOB=-\frac{\sqrt{2} }{ 2} =>\angle AOB=135^\circ =>\angle ACB=90^\circ[/tex]

[tex]S_{AOB}=\frac{1}{ 2} AO.BO.sin\angle AOB=1; S_{AOB}=\frac{1}{ 2} AB.r=>r=\frac{\sqrt{10} }{ 5}[/tex]

[tex]S_{ABC}=pr=(AB+r)r=\frac{12}{5 }[/tex]

[Гост]

След като намираме че триъгълник АВС е правоъгълен и означим СМ и СN с "Х" и намерим Х с косинусова теорема, се получава че Х= 10. ОТ S = ab/2 аз получавам за лицето че е равно на 56/5 вместо 12/5

[Гост]

CMNO е квадрат и СМ и СN са равни на r. Не може да се използва косинусова теорема .