Триъгълник

[Гост]

За ▲АВС със страни AB=c, BC=a, AC=b и лице S е известно че ............ . Да се намери ъгъл CAB

[monika_at]

[tex]a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha[/tex] (1)

[tex]\frac{4\sqrt{3} }{ 3} .\frac{bc.sin\alpha }{ 2} =a^2-b^2-c^2+2bc[/tex] (2). Заместваме (1) 2 (2)=>

[tex]\frac{4\sqrt{3} }{ 3} .\frac{bc.sin\alpha }{ 2}=2bc-2bc.cos\alpha[/tex] Делим на [tex]2bc[/tex]=>

[tex]\sqrt{3} sin\alpha +3cos\alpha =3=>sin\alpha +\sqrt{3} cos\alpha =\sqrt{3}[/tex] Делим на две и прилагаме събирателна формула=>

[tex]sin (\alpha +60^\circ )=\frac{\sqrt{3} }{2 } =>1)\alpha +60^\circ =60^\circ =>\alpha =0^\circ[/tex]-невъзможно.

2) [tex]\alpha +60^\circ =120^\circ=>\alpha =60^\circ[/tex]

[ptj]

[tex]\frac{4}{\sqrt{3} }S=(a^2-b^2-c^2)+2bc[/tex]

[tex]\frac{2bc.sin(\alpha) }{\sqrt{3} }=-2bc.cos(\alpha )+2bc[/tex]

[tex]\frac{sin(\alpha )}{1-cos(\alpha ) }=\sqrt{3}[/tex]

[tex]ctg(\frac{\alpha }{2 })=\sqrt{3}[/tex]

[tex]\alpha=\frac{\pi }{3 }[/tex]