Симетрала

[Гост]

В триъгълник АВС симетралата на хипотенузата АВ пресича катета ВС в точка М, а продължението на катета АС в точка N. Намерете дължината на хипотенузата АВ, ако DM=a и MN=b.

[Knowledge Greedy]

Не мога да гадая каква е тази точка [tex]D[/tex] Трябва врачка

[Гост]

Извинятам се точка D e средата на АВ, там където се пресича симетралата и хипотенузата.

[Knowledge Greedy]

Хипотенузата е [tex]2\sqrt{a(a+b)}[/tex]
Как се получава? - От две двойки подобни триъгълници или с един косинус и един тангенс.
Кое предпочиташ?

[Гост]

Бих се радвал да видя варианта с подобните триъгълници.

[Knowledge Greedy]

Две двойки подобни или два тангенса синус и косинус.PNG (5.62 KiB) Прегледано 219 пъти

От двойката подобни сини триъгълници имаме [tex]\frac{y}{z } =\frac{c}{ a}[/tex]

Втората двойка са [tex]\Delta CMN \sim \Delta DAN[/tex] получаваме [tex]\frac{z}{b } =\frac{c}{x+y}[/tex]

а също [tex]\frac{b}{ y}=\frac{x+y}{a+b }[/tex]

Умножи левите страни на трите равенства и ги приравни на произведението на десните. Съкрати всички множители, които могат да се съкратят.

[Гост]

А варианта с тангенса и косинуса какъв е, че ми стана интересно?

[Knowledge Greedy]

Може леко да се разочароваш.
На практика е същото, само че абстрактно - няма нужда от декларирането на подобните триъгълници - само отношенията. Все пак виж чертежа .

Две двойки подобни или два тангенса.PNG (5.47 KiB) Прегледано 204 пъти

От една страна [tex]tg{\varphi }=\frac{a}{c}[/tex], от друга [tex]tg{\varphi }=\frac{c}{a+b}[/tex] .

Сам се изненадах - то станало с два тангенса!