Пресечена пирамида

[Гост]

В правилна триъгълна пресечена пирамида дължините на основните ръбове са 4 см и 2 см, а ъгълът между околен ръб и долната основа е 30°. Намерете лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата.

[Гост]

Може ли да дадете идея за решаване на задачата?

[ptj]

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=55&t=16323

[Гост]

Аз всъщност решавам задачата, но явно имам някакво обърква с този ъгъл 30 градуса къде е и затова не ми излизат отговорите:[tex]3\sqrt{7} cm^2[/tex] и [tex]\frac{14\sqrt{3} }{9 } cm^3[/tex] Вие това ли получавате?
Ако пирамидата е [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex] и центровете на вписаните окръжности в [tex]ABC[/tex] и [tex]A_1B_1C_1[/tex]са [tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] и средите на [tex]AC[/tex] и [tex]A_1C_1[/tex] са [tex]M[/tex] и [tex]M_1[/tex]. То ако разгледаме трапеца [tex]MOO_1M_1[/tex], където ъглите [tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] са по 90 градуса, а ъгъл М по условие е 30 градуса. Също така основите на трапеца са съответно радиуси на вписите окръжности на основите на пирамидата и като ги сметнем съответно излизат за малката основа [tex]\frac{\sqrt{3} }{ 3}[/tex] и [tex]\frac{2\sqrt{3} }{3 }[/tex] за голямата - после лесно се намира за височината на пирамидата, че е [tex]\frac{1}{ 3}[/tex], а за апотемата [tex]\frac{2}{3 }[/tex] Смятайки околната повърхнина тя е сбор от лицата на трите трапеци, които са равнобедрени с основи 4 и 2 и височина [tex]\frac{2}{3 }[/tex] и получаваме за околната повърхнина 6 квадратни сантиметра, къде бъркам?

[ptj]

Намерените от теб стойности са правилни.
Колко е отговора за околната повърхнина?

П.П. Да не би да се търси пълната повърхнина?

[Гост]

Отговорът за лицето на околна повърхнина е [tex]3\sqrt{7}cm^2[/tex] и за обема [tex]\frac{14\sqrt{3} }{9 }[/tex]. Впрочем за обема на пирамидата толкова ли получавате колкото са дали, защото аз получих [tex]\frac{7\sqrt{3} }{9 }[/tex]? И пак погледнах околната повърхнина се търси.

[Гост]

Явно допускам някаква грешка някъде, но не разбирам дали е в сметките или в разбирането на задачата и начина на решаване.

[ptj]

Не четеш условието:

[tex]30^\circ[/tex] не е двустенен ъгъл, а ъгъл между околен ръб и основа.

[tex]\angle {A_1AM}=30^\circ[/tex]

[Гост]

А тогава за лицето на околната не се ли получава [tex]4\sqrt{3}[/tex]?

[ptj]

Използвай косинусова теорема за тристенен ъгъл за да намериш [tex]cos(\angle{A_1AB})[/tex].
След това намери околния ръб и височината на пирамидата.

[Гост]

Не сме учили още за тристенен ъгъл. Това е задача за пресечена пирамида точно след урока за Пирамида. Пресечена пирамида, но в него няма за тристенен ъгъл нищо, явно се учи по-нататък, защото досега не сме го взимали и в предните уроци го няма. С друг материал може ли да се получи?

[Гост]

А този ъгъл не е ли той равен на тридесет градуса, защо ми е да му търся косинуса? Нещо не разбрах?

[ptj]

Може с правоъгълни триъгълници:

[tex]h=b.sin(30^\circ)=\frac{h}{2 }[/tex] (b- околен ръб)

Нека точките [tex]P,Q[/tex] са петите на перпендикулярите от[tex]A_1[/tex] съответно към [tex]AM,AB[/tex].

[tex]AP=b.cos(30^\circ)=\frac{b\sqrt{3} }{2 }[/tex] ([tex]A_1P[/tex] e височина в пирамидата)

[tex]AQ=AP.cos(30^\circ)=\frac{b\sqrt{3} }{2 }.\frac{\sqrt{3} }{2 }=\frac{3b}{4 }[/tex] [tex](\angle AQP=90^\circ )[/tex]

[tex]cos(\angle A_1AQ)=\frac{AQ}{AA_1 }=\frac{3}{4 }[/tex], защото [tex]\angle{AQA_1}=90^\circ[/tex]

[tex]2AQ=AB-A_1B_1=4-2=2[/tex] [tex]\Leftrightarrow AQ=1 \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow AA_1=\frac{4}{3 } => AQ=\frac{\sqrt{7} }{3 }[/tex] (последната е апотема)

...

П.П. Ако се чудиш за последните 2 прави ъгъла: Една права е перпендикулярна на права в равнината, тогава и само тогава когато ортогоналната и проекция в равнината е перпендикулярна на същата права.

Ако една права

[Гост]

Ако наистина става въпрос са ъгъл А1АВ да е равен на 30, то може и по-лесно, но пак не се получа отговора. Разглеждаме трапеца АСС1А1 той е с основа 2 и 4. Ако спуснем от А1 перпендикуляр нека, да пресича АС в точка Н, то в триъгълник АА1Н ъгъл А е 30 а АН е равна на един сантиметър, защото трапеца е равнобедрен. От там лесно намериме че височината е [tex]\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]. Лицето на околната е три пъти по лицето на разглеждания трапец, като сметнем става [tex]3\sqrt{3}[/tex]? Сега къде бъркам?

[ptj]

[tex]\angle{A_1AB}\ne 30 ^\circ[/tex] , защото неговия косинус е [tex]\frac{3}{ 4}[/tex]

Отговорите са вярни.

[Гост]

А кой ъгъл е 30 градуса?

[ptj]

По-условие ъгъла между околен ръб и основата, т.е. [tex]\angle {MAA_1}=30^\circ[/tex].

Също [tex]\angle{BAM}=30^\circ[/tex], защото основата е равностранен триъгълник.

[Гост]

М - среда на АС, нали? Защото ако е така не виждам как ъгъл ВАМ да е 30 градуса, АВС е равностранен заради правилната пирамида?

[Гост]

Ако не ти е проблем можеш ли да си прикачиш чертежа? Защото явно си отбелязал нещата различно от мен, а и аз нещо не мога да си представя написаните неща от теб.

[ptj]

Нямам софтуер за чертежи.

[ptj]

М - среда на АС, нали? Защото ако е така не виждам как ъгъл ВАМ да е 30 градуса, АВС е равностранен заради правилната пирамида?

Сега видях, че при теб са по друг начин. [tex]AM[/tex] е височина, медиана и ъглополовяща в равностранен триъгълник, т.е. [tex]M\in BC[/tex].

[Гост]

Е ако АМ е ъглополовяща и височина и тн не трябва ли М да е среда на BC?

[ptj]

да

[Гост]

Сега всичко се получи, благодаря ти много за отделено внимание и помощ!

[EmiV]

Спешно....
Пресечна четириъгълна пирамида
n=4
b=7
b1=5
BD1=9
V=?