Правилна триъгълна пирамида

[Гост]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб 3см. и височина 1см.

Да се намери: околния ръб,лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата.


Лесна е задачата,но въобще не ги разбирам! Ще бъда много благодарен,ако някой ми обясни подробно как се решават задачите от този тип

[Alex98]

[tex]R -[/tex] радиус на основата
[tex]B -[/tex] лице на основата
[tex]a =3[/tex] основен ръб
[tex]l -[/tex] околен ръб
[tex]H=1[/tex] височина на пирамидата
[tex]S -[/tex] лице на околна повърхнина

[tex]R=\frac{a}{2sin \alpha}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}[/tex] Синусова теорема
[tex]l=\sqrt{H^2+R^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2[/tex] Питагорова теорема
[tex]S=n.\sqrt{p(p-a)(p-l)(p-l)}=3.\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}}=\frac{9\sqrt{7}}{4}[/tex] Херонова формула
[tex]B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}.B.H=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]

[S.B.]

Без да омаловажавам мнението на Alex98 искам да дам едно по-подробно описание за което е помолил Гост;
Пирамидата DABC е правилна,триъгълна , основата ABC е равностранен триъгълник,стените сключват с основата равни ъгли - което означава,че върхът се проектира върху центъра на вписаната окръжност, околните ръбове - също сключват равни ъгли с основата ,от което следва,че върхът се проектира върху центъра на описаната окръжност.Всъщност,върхът на пирамидата се проектира върху медицентъра на на основата,който се явява център на описаната окръжност,също и център на вписаната окръгност;
Основата на пирамидата е равностр.триъгълник с основен ръб а=3; Медианата CM = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex];
Построявам равнина по медианата CM и околния ръб CD,която пресича пирамидата в [tex]\triangle[/tex]CMD,където МD = k е апотемата на пирамидата,а CM= l е околният ръб.Висичината h = CH,CH[tex]\bot[/tex]CM,H[tex]\in[/tex]CM и т.H е проекцията върха D върху основата,медицентър на основата.
От свойството на медицентъра: HC = [tex]\frac{2}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] или HC = [tex]\sqrt{3}[/tex],a HM = [tex]\frac{1}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{1}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] или HM = [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]HCD,правоъгълен,по Питагор: [tex]CD^{2}[/tex] = [tex]HC^{2}[/tex] + [tex]DH^{2}[/tex] = 1 + 3 = 4 или l = CD = 2;
Oт [tex]\triangle[/tex]HMD,правоъгълен,по Питагор: [tex]MD^{2}[/tex] = [tex]HC^{2}[/tex] + [tex]MH^{2}[/tex] = 1 + [tex]\frac{3}{4}[/tex] = [tex]\frac{7}{4}[/tex] или k = MD = [tex]\frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]
[tex]S_{ок }[/tex] = [tex]\frac{3.a.k}{2}[/tex] = [tex]\frac{9.\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}[/tex] или [tex]S_{ок }[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{7}}{4}[/tex] [tex]см^{2}[/tex]
[tex]B_{oсн }[/tex] = [tex]\frac{а^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex] , [tex]S_{пълна }[/tex] = [tex]S_{ок }[/tex] + [tex]B_{осн }[/tex] или S = [tex]\frac{9}{4}[/tex]([tex]\sqrt{7}[/tex] + [tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]см^{2}[/tex]
[tex]V_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{B_{осн }.h}{3}[/tex] = [tex]\frac{\frac{9\sqrt{3}.1}{4}}{3}[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{3}}{12}[/tex][tex]см^{3}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (59).png (319.77 KiB) Прегледано 23724 пъти

Без да омаловажавам мнението на Alex98 искам да дам едно по-подробно описание за което е помолил Гост;
Пирамидата DABC е правилна,триъгълна , основата ABC е равностранен триъгълник,стените сключват с основата равни ъгли - което означава,че върхът се проектира върху центъра на вписаната окръжност, околните ръбове - също сключват равни ъгли с основата ,от което следва,че върхът се проектира върху центъра на описаната окръжност.Всъщност,върхът на пирамидата се проектира върху медицентъра на на основата,който се явява център на описаната окръжност,също и център на вписаната окръгност;
Основата на пирамидата е равностр.триъгълник с основен ръб а=3; Медианата CM = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex];
Построявам равнина по медианата CM и околния ръб CD,която пресича пирамидата в [tex]\triangle[/tex]CMD,където МD = k е апотемата на пирамидата,а CM= l е околният ръб.Висичината h = CH,CH[tex]\bot[/tex]CM,H[tex]\in[/tex]CM и т.H е проекцията върха D върху основата,медицентър на основата.
От свойството на медицентъра: HC = [tex]\frac{2}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] или HC = [tex]\sqrt{3}[/tex],a HM = [tex]\frac{1}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{1}{3}[/tex]CM = [tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] или HM = [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]HCD,правоъгълен,по Питагор: [tex]CD^{2}[/tex] = [tex]HC^{2}[/tex] + [tex]DH^{2}[/tex] = 1 + 3 = 4 или l = CD = 2;
Oт [tex]\triangle[/tex]HMD,правоъгълен,по Питагор: [tex]MD^{2}[/tex] = [tex]HC^{2}[/tex] + [tex]MH^{2}[/tex] = 1 + [tex]\frac{3}{4}[/tex] = [tex]\frac{7}{4}[/tex] или k = MD = [tex]\frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]
[tex]S_{ок }[/tex] = [tex]\frac{3.a.k}{2}[/tex] = [tex]\frac{9.\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}[/tex] или [tex]S_{ок }[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{7}}{4}[/tex] [tex]см^{2}[/tex]
[tex]B_{oсн }[/tex] = [tex]\frac{а^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex] , [tex]S_{пълна }[/tex] = [tex]S_{ок }[/tex] + [tex]B_{осн }[/tex] или S = [tex]\frac{9}{4}[/tex]([tex]\sqrt{7}[/tex] + [tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]см^{2}[/tex]
[tex]V_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{B_{осн }.h}{3}[/tex] = [tex]\frac{\frac{9\sqrt{3}.1}{4}}{3}[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{3}}{12}[/tex][tex]см^{3}[/tex]

Освен да добавя макар и със закъснение чертеж към поста си - друго не мога да направя!Всъщност по-добре късно,от колкото никога,нали?
Само не мога да си обясня защо датата на поста ми съвпада с днешната 04.11.2019г?То е писано доста отдавна ,когато още не можех да си служа с GeoGebra и за това не е било придружено с чертеж.Е, сега вече има и чертеж!