Производна на функция

[Гост]

Произведението от най-малката и най-голямата стойност на функцията е ?

[mp3]

Задачата може да се реши без производни. Като се използва основното тригонометрично тъждество и очевидно полагане, функцията лесно се свежда до квадратна фунция с ДМ затворен интервал. След това остава да се намери минимум и максимум на тази функция в дадения затворен интервал.


[tex]sin^{2} x = 1-cos^{2}[/tex]
[tex]f(u) =1-cos ^{2} x+ cos x - \frac{1}{2 } =-cos ^{2} x+ cos x + \frac{1}{2 }[/tex]
Полагаме [tex]cos x = u, u\in [-1;1][/tex] и след заместване получаваме:
[tex]f(u)= -u ^{2} + u+ \frac{1}{2 }, u\in [-1;1][/tex]
Двете нули са [tex]u_{1,2} = \frac{1\pm \sqrt{3} }{ 2} .[/tex]
[tex]u_{1} = \frac{1 + \sqrt{3} }{ 2} > \frac{1 + 1}{ 2} ,[/tex]
[tex]u_{1} >1[/tex]
[tex]u_{2} = \frac{1 - \sqrt{3} }{ 2} > \frac{1 -2}{ 2}[/tex]
[tex]-\frac{1}{ 2}< u_{1} <0[/tex]
Върхът на параболата е т. [tex]x = \frac{-1}{ 2.(-1)} = \frac{1}{2 }[/tex]
Параболата е с върха нагоре.
Следователно [tex]f_{max} = f(\frac{1}{2 }) = -\frac{1}{4 } +\frac{1}{2 } + \frac{1}{2 } = \frac{3}{4 }[/tex] и [tex]f_{min} = f(-1) = -1-1+\frac{1}{2 } = -\frac{3}{2 }[/tex]
[tex]f_{max}.f_{min} =-\frac{9}{ 8}[/tex]

[math10.com]

[tex]f(u)=sin^ 2 x+cos x +\frac{1}{2} =1-cos ^{2} x+ cos x - \frac{1}{2 } =-cos ^{2} x+ cos x + \frac{1}{2 }=\frac{3}{4}-(cos x-\frac{1}{2})^2[/tex]

[tex]g(x)=(cos x-\frac{1}{2})^2 \Rightarrow g(x)_{min}=0 ; g(x)_{MAX}=\frac{9}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow f(x)_{min}=\frac{3}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{3}{2} ; f(x)_{MAX}=\frac{3}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow f(x)_{min}.f(x)_{MAX}=-\frac{9}{8}[/tex]