Четириъгълник

[Гост]

Даден е четириъгълник ABCD със страни AB=7. BC=3, AD= 8 и диагонали AC = 8 и BD =5. Да се докаже че ABCD е вписан в окръжност и да се намерят нейният радиус R и страната CD.

[math10.com]

С Косинусова теорема за [tex]\triangle ABD[/tex] получаваме [tex]cos \angle ADB=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle ADB=60^\circ[/tex]
С Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] получаваме [tex]cos \angle ACB=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle ACB=60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] около [tex]ABCD[/tex] може да се опише окръжност
[tex]\Rightarrow \angle CAD=\angle CBD=\frac{1}{2}\widehat {CD}=\varphi[/tex]
Синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и получаваме:[tex]\frac{AB}{sin 60^\circ }=2R \Rightarrow R=\frac{7\sqrt{3}}{3}[/tex]
От косинусова теорема за [tex]\triangle ACD[/tex] и [tex]\triangle BCD[/tex] [tex]\Rightarrow BC^2+BD^2-2BC.BD.cos \varphi =AC^2+AD^2-2AC.AD.cos \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow cos \varphi =\frac{47}{49}[/tex]
[tex]\Rightarrow CD^2=BC^2+BD^2-2BC.BD.cos \varphi =25+9-30\frac{47}{49}=\frac{256}{49}[/tex]

[tex]\Rightarrow CD=\frac{16}{7}[/tex]