2 задачи от ТУ

[Гост]

1. В триъгълник ABC ъгълът ABC е тъп, AC=3, BC=[tex]\sqrt{7}[/tex]и ъгъл CAB=60 градуса. Дължината на страната AB е равна на: 2, [tex]\sqrt{3}[/tex] , 1, 0,7, [tex]\sqrt{3}[/tex]/3
Чрез косинусова теорема получавам 2 отговора: 1 и 2. Как да разбера кой е верен?

2. Да се намерят решенията в радиани на уравнението sin4x=sin2x, които принадлежат на затворения интервал [[tex]\pi ; 2\pi[/tex]]
Първо ако можете да ми кажете този вид задачи как се казва, и ако можете да напишете решението по-подробно.
Мерси :)

[ptj]

1.)
[tex]\frac{sin\alpha}{sin\beta}=\frac{\sqrt{7}}{3}[/tex]

[tex]sin\beta=sin\alpha\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}[/tex]

[tex]cos\beta=-\sqrt{1-sin^2\beta}=-\sqrt{1-\frac{27}{28}}=-\frac{1}{2\sqrt{7}}[/tex] (тъп ъгъл)

[tex]cos\alpha=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]cos\gamma=cos(180^\circ-(\alpha+\beta))=-cos(\alpha+\beta)=-(cos\alpha.cos\beta-sin\alpha.sin\beta)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2\sqrt{7}}.\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2\sqrt{7}}[/tex]


[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.cos\gamma=3^2+(\sqrt{7})^2-2.3.\sqrt{7}.\frac{5}{2\sqrt{7}}=9+7-15=1[/tex]

[tex]AB=1[/tex]

2.)

[tex]sin(4x)=sin(2x)[/tex] е тригонометрично уравнение.

[tex]2.sin(2x).cos(2x)-sin(2x)=0[/tex]

[tex]sin(2x).(1-cos(2x))=0[/tex]

T.e. трябва да обединим решенията на [tex]sin(2x)=0[/tex] и [tex]cos(2x)=1[/tex] при [tex]x\in[\pi;2\pi][/tex]

[tex]sin(2x)=0 \Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k}{2}\pi[/tex]

От последния ред само [tex]\pi[/tex], [tex]\frac{3}{2 }\pi[/tex] и [tex]2\pi[/tex] са от интервала [tex][\pi;2\pi][/tex]

[tex]cos(2x)=1 \Leftrightarrow x=2k\pi \Leftrightarrow x=k\pi[/tex]

От последния ред само [tex]\pi[/tex] и [tex]2\pi[/tex] са от интервала [tex][\pi;2\pi][/tex].

Окончатено обединението на решенията е : [tex]x=\pi[/tex] или [tex]x=\frac{3}{2 }\pi[/tex] или [tex]x=2\pi[/tex] .

[Гост]

На 2рата задача точно до там стигнах, и как да я продължа?
Аз съм написал
2x = [tex]\pi[/tex] + K[tex]\pi[/tex] или 2x= 2[tex]\pi[/tex] + 2К[tex]\pi[/tex]
следователно x=[tex]\pi[/tex]/2 +K[tex]\pi[/tex] или x=[tex]\pi[/tex] + K[tex]\pi[/tex]

Но заради дадения интервал решението е само x=[tex]\pi[/tex] Това ли е решението?

[ptj]

Довърших решението.

[Гост]

Мерси, но все още имам няколко въпроса.
Синусът не е ли със същият период като косинус - 2K[tex]\pi[/tex]

[ptj]

Да, но в интервала [tex][0;2\pi)[/tex] [tex]sinx=0[/tex] има 2 решения : [tex]0[/tex] и [tex]\pi[/tex].

Докато за същия интервал [tex]cosx=1[/tex] има само едно решение : [tex]0[/tex] .

В моето решение 2-те стойности за синуса съм ги обединил в едно, затова периода е по-малък.