Равнобедрен трапец

[Гост]

Средната отсечка на равнобедрен трапец е равна на половината от диагонала. На колко са равни големините на ъглите между диагоналите на трапеца.

[Zarrie]

Нека AD = BC = c
[tex]\angle ABD = \alpha, \angle AOB = \varphi[/tex][tex]O=AC \cap BD[/tex]
[tex]\Delta ABD \Rightarrow[/tex]
[tex]c^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)cos\alpha[/tex]
[tex]AC=BD,AB \parallel CD\Rightarrow \angle ABD = \angle BDC \Rightarrow[/tex]
[tex]c^2=b^2+(a+b)^2-2b(a+b)cos\alpha[/tex]
[tex]a^2(a+b)^2-2a(a+b)cos\alpha=b^2+(a+b)^2-2b(a+b)cos\alpha[/tex]
[tex]a^2-b^2+2b(a+b)cos\alpha-2a(a+b)cos\alpha[/tex]
[tex]a-b+2bcos\alpha-2acos\alpha[/tex]
[tex](a-b)(1-cos\alpha)=0[/tex]
[tex]1)a=b \Rightarrow AB=BC=CD=CA, AC \bot BD[/tex] фигурата е квадрат.
[tex]2)cos\alpha=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60[/tex]
[tex]AO=BO \Rightarrow \Delta ABO[/tex] равностранен [tex]\Rightarrow \varphi=60[/tex]

[inveidar]

Може по-лесно така:
По условие 2MN=AC, но и AB+CD=2MN, т.е AB+CD=AC.
От подобието на триъгълниците АВО и СDО следва [tex]\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}\Leftrightarrow\frac{AB+CD}{CD}=\frac{AO+OC}{OC}[/tex] и от (1) получаваме CD=OC. Но ОС=OD и, следователно, триъгълникът DOC е равностранен.

[math10.com]

А най-лесно е така:
Построяваме [tex]CP||BD ;D\in AB \Rightarrow BPCD[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow CP=BD ;CD=BP[/tex].
[tex]AC=BD[/tex] (Трапеца е равнобедрен по условие).
[tex]AC=2MN=AB+CD=AP=BD \Rightarrow \Delta APC[/tex] е равностранен.
[tex]\Rightarrow \angle AOB=\angle ACP=60^\circ[/tex] като кръстни

[inveidar]

Можем да поспорим кое е по-лесно! Имаш допълнително построение. При мен го няма.