Трапец

[Гост]

Даден е трапец ABCD (АВ||CD, AB>CD), в който може да се впише и около който може да се опише окръжност.Да се намерят дължините на страните му ако периметърът е 20 а лицето му е 15.

[Zarrie]

Трапецът е вписан и описан, което спедва:
[tex]AD=\frac{a+b}{2}[/tex]
[tex]P=2(a+b)=20 \Rightarrow a+b=10(1)[/tex]
Постр. [tex]DH \bot AB[/tex]
[tex]AD=\frac{a+b}{2}, AH = \frac{a-b}{2}[/tex]
[tex]DH^2 = h^2 = \frac{(a+b)^{2}}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}[/tex]
[tex]4h^2 = 4ab \Rightarrow h = \sqrt{ab}[/tex]
[tex]S = \frac{a+b}{2}.\sqrt{ab} = 15 \Rightarrow \begin{array}{|l} (a+b)\sqrt{ab}=30 \\ a+b=10 \end{array}[/tex]
Решенията на системата са [tex](a;b) : (9:1);(1;9)[/tex]
За катета получаваме[tex]AD = 5[/tex]

[MENKA]

Трапецът е вписан и описан, което спедва:
[tex]AD=\frac{a+b}{2}[/tex]
[tex]P=2(a+b)=20 \Rightarrow a+b=10(1)[/tex]
Постр. [tex]DH \bot AB[/tex]
[tex]AD=\frac{a+b}{2}, AH = \frac{a-b}{2}[/tex]
[tex]DH^2 = h^2 = \frac{(a+b)^{2}}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}[/tex]
[tex]4h^2 = 4ab \Rightarrow h = \sqrt{ab}[/tex]
[tex]S = \frac{a+b}{2}.\sqrt{ab} = 15 \Rightarrow \begin{array}{|l} (a+b)\sqrt{ab}=30 \\ a+b=10 \end{array}[/tex]
Решенията на системата са [tex](a;b) : (9:1);(1;9)[/tex]
За катета получаваме[tex]AD = 5[/tex]

Никъде не прочетох,че трапецът е равнобедрен.Този,който пита,откъде ще разбере какви са тези гимнастики?

[Гост]

Менка не прочела, леле мале. Ако толкова е загрижена, нека препоръча на питащия дванадесетокласник да си преговори просто урок от 8 клас за описани окръжности. Тогава ще знае защо трапецът е равнобедрен и ще стопли "гимнастиките" на Зари. Поне неговите са написани прегледно и разбираемо. Да погледне Менка преди това своите и тогава да критикува.

[ptj]

Всеки вписан трапец е равнобедрен, защото успоредните прави отсичат равни дъги (равни вътрешно кръстни ъгли) и съответните им хорди също са равни.

Периметъра е [tex]p=2a+2b=20\Rightarrow a+b=10[/tex]
Лицето е [tex]\frac{a+b}{2}h=15 \Rightarrow h=3[/tex]

[tex]sin\alpha=\frac{3}{5}\Rightarrow cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{a-b}{2}=5.cos\alpha=\pm4[/tex]

т.е. [tex]а=9,b=1[/tex] или [tex]a=1,b=9[/tex] .