Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник я дели на отсечки, разликата на които е равна на единия катет на триъгълника. Намерете острите ъгли на триъгълника.

[Гост]

Може ли насоки по задачата?

[amsara]

Нека означим височината към хипотенузата с СН.
АН=х, ВН=у, х>у => ВС=х-у

[tex]\angle BAC=\alpha[/tex]; В [tex]\Delta ABC => sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{x-y}{x+y}[/tex]
В [tex]\Delta BHC => \angle BCH=180-(90+90-\alpha)=\alpha => sin\alpha=\frac{BH}{BC}=\frac{y}{x-y}[/tex]
[tex]=>\frac{x-y}{x+y}=\frac{y}{x-y} <=> (x-y)^2=y(x+y)[/tex]
[tex]x^2-2xy+y^2=xy+y^2 <=> x^2-3xy=0 <=> x(x-3y)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] не е решение, тъй като отсечката е положително число.
[tex]=>x=3y => AB=3y+y=4y; BC=3y-y=2y[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{2y}{4y}=\frac{1}{2}=> \alpha=30^\circ => \beta=60^\circ[/tex]