Лице

[Гост]

Намерете лицето на триъгълника АВС, ако са известни страната АВ=14 и медианите AN=21 и BP=18.

[MENKA]

AB=c
BC=a
AC=b
AN=mc
BP=mb
CK=mc

c={2[(2ma²+2mb²-mc²]^1/2}/3
Намирате mc=33
След това по формулите за намиране на страни на т-к по зададени медиани,подобно на горната формула намирате а и в.
След това намирате лицето на т-ка по Хероновата формула.

[math10.com]

МЕНКА , идеята не е само да намерим някакъв тромав начин.Да навлезем в ужасни сметки и след като сгрешим някъде да се оплакваме , че не ни позволяват ползването на калкулатори.В подобни задачи трябва да се замислим , дали няма някой лек и приятен за смятане начин.
Когато са дадени медиани , веднага трябва да си припомним материала от 8-ми клас за медицентър на триъгълник.В дадената задача са известни медианите [tex]AN=21[/tex] и [tex]BP=18[/tex] .Нека ги пресечем в точка [tex]M[/tex].От свойствата на медицентъра лесно намираме [tex]AM=\frac{2}{3}AN=14 ; BM=\frac{2}{3}BP=12[/tex].Замисляйки се в съзнанието ни се появява онази основна задача "Отсечките [tex]AM,BM,CM[/tex] в триъгълник [tex]ABC[/tex] с медицентър точката [tex]M[/tex] го разделят на 3 равнолицеви триъгълника", с чиято помощ лесно ще намерим лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] стига да успеем да намерим лицето на [tex]\Delta ABM[/tex] , а именно [tex]S_{ABC}=3S_{ABN}[/tex].На триъгълника [tex]ABM[/tex] знаем дължините и на трите страни [tex]AB=AM=14 ; BM=12[/tex]
Що се отнася до лицето на [tex]\Delta ABM[/tex] то най-лесно е с Хероновата формула [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{20.6.6.8}=24\sqrt{10}[/tex].От където [tex]S_{ABC}=3.24\sqrt{10}=72\sqrt{10}[/tex]
Ако тази формула ни е убягнала и не ни позволяват ползването на книжката с формули ,то една Питагорова теорема за намиране на височината към страната [tex]BM[/tex] ще свърши работа.Тъй като получения триъгълник [tex]ABM[/tex] е равнобедрен то височината [tex]AH ;( H\in BM)[/tex] към [tex]BM[/tex] ще е и медиана( това от урока за равнобедрен триъгълник в учебника за 7-ми клас).И така [tex]AH=\sqrt{AB^2-(\frac{1}{2}BM)^2}=\sqrt{196-36}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}[/tex].От където [tex]S_{ABM}=\frac{BM.AH}{2}=24\sqrt{10}\Rightarrow S_{ABC}=72\sqrt{10}[/tex]


P.P. Да знаем математика , не означава да сме наизустили няколко формули или да ги прочетем от четиризначните таблици.Важното и наистина трудното е да можем да ги подредим подходящо ,за да получим леко и елегантно решение.

[Zarrie]

math10, не мисля, че решение, което е по-дълго и натоварено с формули, е по-малко елегантно от някое кратко решение. Това, че Менка лишава решенията си от елегантност е частен случай. Да представиш решение елегантно е въпрос на познание на математическите квантори, малко естестика за структурирането на решението и разбира се обширни познания по математика, за да е пълно и разбираемо решението.

[pipi langstrump]

Когато са дадени медиани и лице на триъгълник, веднага в съзнанието ми се появява формулата на Херон с медиани

[tex]S = \frac{4}{3}\sqrt{m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}[/tex]

[tex]m = \frac{m_a + m_b + m_c}{2}[/tex]

Ако Менка я знаеше, можеше и нейното решение да предендира за елегантност, още повече, че не изисква никакво мислене и никакъв чертеж. Въпрос на вкус.

[math10.com]

Малко преди да сте ме нападнали ще направя едно разяснение....
1-во МЕНКА не е написала решение , а само упътване.Ентусиастите , който го използват ще загубят няколко часа в изчисления и със сигурност ще се откажат преди да са получили какъвто и да било отговор.
2-ро. Преди да предприемете критики към мен , опитайте с даденото упътване да стигнете до отговорите.

Ще помогна малко: [tex]a=2\sqrt{265} ; b=8\sqrt{19} ; c=14[/tex] това са страните на дадения по условие триъгълник
Сега да преминем към Хероновата формула......[tex]p=7+\sqrt{265}+4\sqrt{19} ; p-c=\sqrt{265}+4\sqrt{19}-7 ; p-b=7+\sqrt{265}-4\sqrt{19} ; p-a=7-\sqrt{265}+4\sqrt{19}[/tex].
Тук е необходимо подходящо групиране.В противен случай пожелавам успех при решаването.Да речем ,че сме достатъчно рутинирани в подобни сметки( Въпреки ,че ако бяхме толкова добри , въобще нямаше да решаваме по този начин)
[tex]S=\sqrt{(7+\sqrt{265}+4\sqrt{19})(\sqrt{265}+4\sqrt{19}-7)(7-(4\sqrt{19}-\sqrt{265}))(7+(4\sqrt{19}-\sqrt{265}))}=\sqrt{((\sqrt{265}+4\sqrt{19})^2-49)(49-(4\sqrt{19}-\sqrt{265})^2)}=\sqrt{(265+304+8\sqrt{19.265}-49)(49+8\sqrt{19.265}-265-304)}=\sqrt{(8\sqrt{19.265})^2-(265+304-49)^2}=\sqrt{322240-270400}=\sqrt{51840}=72\sqrt{10}[/tex]


Нали е Готино
И ако не е разрешено използването на калкулатор се съмнявам ,че ще ви стигнат 5-те часа дадени за изпита.

П.П. Ако МЕНКА беше извършила всички тези сметки просто щях да се усмихна и да започна поста си с "Така е по-лесно"

П.П. За разлика от МЕНКА довеждам нещата до края даже и с хамалогията

[monika_at]

Решенията на Менка винаги са забава Направо да се забъркаш

[amsara]

math10, готино решение по метода на Менка

[ptj]

Най-лесния начин е с координати.
Позиционирате т.[tex]А[/tex] в (0;0) ; т.[tex]B[/tex] в (14;0) ; т.[tex]C[/tex] в [tex](x;y)[/tex] (положителни).

Тогава [tex]P(\frac{x}{2};\frac{y}{2})[/tex] и [tex]N(\frac{x+14}{2};\frac{y}{2})[/tex] .

[tex]18^2=BP^2=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}[/tex]

[tex]21^2=AN^2=\frac{(x+14)^2}{4}+\frac{y^2}{4}[/tex]

Вадим от последното предпоследното и получаваме:

[tex]117=7x+49 \Leftrightarrow x=\frac{68}{7} \Rightarrow y=\frac{16\sqrt{230}}{7}[/tex]

Понеже [tex]AB[/tex] лежи на абцисната ос, то височината от върха [tex]C[/tex] има дължина равна на ордината на върха, т.е. [tex]y=\frac{16\sqrt{230}}{7}[/tex].

Тогава [tex]S=\frac{1}{2}AB.h_c=\frac{1}{2}.14.\frac{16\sqrt{230}}{7}=16\sqrt{230}[/tex]

[math10.com]

В този случай с координати няма да е по-лесно.Оплескал си дължината на отсечката [tex]BP[/tex] , а и подобни сметки без калкулатор са доста неприятни.
[tex]BP^2=(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2 \Rightarrow 18^2=(14-\frac{x}{2})^2+\frac{y^2}{4}[/tex]
Сега след изваждането ще получим: [tex]AN^2-BP^2=(\frac{x}{2}+7+14-\frac{x}{2})(\frac{x}{2}+7-14+\frac{x}{2})=21^2-18^2=117[/tex]
[tex]21(x-7)=117 \Rightarrow x=\frac{88}{7}[/tex]
[tex]y^2=4.21^2-(\frac{88}{7}+14)^2=(\frac{294}{7})^2-(\frac{186}{7})^2=\frac{480.108}{7^2}=\frac{72^2.10}{7^2} \Rightarrow y=\frac{72\sqrt{10}}{7}[/tex]

[monika_at]

Сега пък и АГ вкарахме в задача за ДЗИ