Четириъгълник

[Гост]

Даден е четириъгълник със страни АВ=7, ВС=3, АD=8 и диагонали АС=8 и ВD=5. Да се докаже че четириъгълникът е вписан в окръжност и да се намерят дължините на нейния радиус и на страната CD.

[ptj]

Знаеш по 3 страни за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta ABD[/tex]. Тогава използвайки Хероновата формула може да намериш техните лица. Прилагайки [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex] може да намериш радиусите на описаните им окръжности, т.е. да докажеш че са равни.

Факта, че диагоналите са най-дългите страни в споменатите 2 триъгълника, означава че ъглите срещу тях са най-големи.
Тогава [tex]\angle ADB[/tex] и [tex]\angle ACB[/tex] са остри, т.е. двата центъра са в една и съща полуравнина относно [tex]AB[/tex]. Щом са и на еднакво разстояние от краищата на отсечката [tex]AB[/tex], то те съвпадат.

[monika_at]

ptj, решението ти е дълго и честно казано малко неразбираемо.

Много по-лесно е, да приложим косинусови теореми за [tex]\Delta ABD; \Delta ABC[/tex]=>

[tex]cos \angle ADB=cos \angle ACB=\frac{1}{2}[/tex]. Точките С и D са в една и съща полуравнина спрямо АВ=>[tex]ABCD[/tex]- вписан четириъгълник.

[monika_at]

Менка ли е дала отрицателен вот, не защото задачата ми не е елегантна, а защото е защото е злобна и повърхностна!

[monika_at]

Менка ли е дала отрицателен вот, не защото задачата ми не е елегантна, а защото е защото е злобна и повърхностна!

Човек, който дава отрицателен вот за идеално решена задача, само защото е отмъстителен и неможещ, е много жалък. Менке, гола вода си, драга...